Calcule a derivada de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de uma função dada pela razão de dois polinômios. O conteúdo aqui é a regra do quociente: se f(x)=u(x)/v(x), então f′(x)=(u′(x)v(x)−u(x)v′(x))/[v(x)]^2. Vamos usar isso.
Passo 2
Identificamos as funções u(x) e v(x) como:
u(x)=4−x^2
v(x)=x3−2x2
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de u e v usando a regra da potência:
u′(x)=−2x
v′(x)=3x^2−4x
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente substituindo u, v, u′ e v′ em:
Isso gera:
Passo 5
Expandimos e agrupamos os termos do numerador:
(-2x)(x3-2x2)=−2x4+4x3
(4−x2)(3x2−4x)=12x2−16x−3x4+4x^3
Subtraindo, o numerador fica x4−12x2+16x.
Passo 6
Fatoramos o numerador e o denominador para cancelar fatores comuns:
Numerador: x4−12x2+16x = x(x-2)^2(x+4)
Denominador: (x3-2x2)^2 = x4(x-2)2
Cancelando x(x-2)^2 obtemos f’(x)=(x+4)/x^3.