Calcule a derivada de cada função abaixo:
f(x)=4-x^2x^3-2 x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função dada pela razão de dois polinômios. O conteúdo aqui é a regra do quociente: se f(x)=u(x)/v(x), então f′(x)=(u′(x)v(x)−u(x)v′(x))/[v(x)]^2. Vamos usar isso.

Passo 2

Identificamos as funções u(x) e v(x) como:
u(x)=4−x^2
v(x)=x3−2x2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v usando a regra da potência:
u′(x)=−2x
v′(x)=3x^2−4x

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente substituindo u, v, u′ e v′ em:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Isso gera:
f'(x)=(-2x)(x^3-2x^2)-(4-x^2)(3x^2-4x)(x^3-2x^2)^2

Passo 5

Expandimos e agrupamos os termos do numerador:
(-2x)(x3-2x2)=−2x4+4x3
(4−x2)(3x2−4x)=12x2−16x−3x4+4x^3
Subtraindo, o numerador fica x4−12x2+16x.

Passo 6

Fatoramos o numerador e o denominador para cancelar fatores comuns:
Numerador: x4−12x2+16x = x(x-2)^2(x+4)
Denominador: (x3-2x2)^2 = x4(x-2)2
Cancelando x(x-2)^2 obtemos f’(x)=(x+4)/x^3.

Resposta

x+4x^3

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