Considere o mesmo exemplo mudando o ponto de amostragem para ○ superior à esquerda:
Estime o volume do sólido que está acima do quadrado R=[0,2] times[0,2] e abaixo do paraboloide elíptico z=16-x^2-2 y^2. Divida R em quatro quadrados iguais e escolha o ponto de amostragem como o canto superior esquerdo de cada quadrado Ri j. Faça um esboço do sólido e das caixas retangulares aproximadoras.

Passo 1

O exercício pede para estimar o volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] × [0,2] e abaixo do paraboloide elíptico z = 16 – x² – 2y², usando um Riemann sum com 4 subretângulos e ponto de amostragem no canto superior esquerdo de cada um.

Passo 2

Primeiro, dividimos R em quatro quadrados iguais de lados Δx = Δy = 1. Os subretângulos e seus pontos de amostragem (canto superior esquerdo) são: (i) R₁₁ com (x*,y*)=(0,2); (ii) R₁₂ com (x*,y*)=(1,2); (iii) R₂₁ com (x*,y*)=(0,1); (iv) R₂₂ com (x*,y*)=(1,1).
Calculamos a altura em cada ponto usando z = 16 – x² – 2y²: z(0,2) = 16 – 0 – 8 = 8; z(1,2) = 16 – 1 – 8 = 7; z(0,1) = 16 – 0 – 2 = 14; z(1,1) = 16 – 1 – 2 = 13.

Passo 3

Como cada ΔA = Δx·Δy = 1·1 = 1, a soma de Riemann é V ≈ Σ f(x*,y*) ΔA = 8 + 7 + 14 + 13 = 42.

Passo 4

Para esboçar, desenhe o paraboloide elíptico invertido sobre o quadrado [0,2]×[0,2] e dentro dele coloque quatro prismas retangulares de base 1×1 em cada canto, com alturas dadas pelos valores calculados (8, 7, 14 e 13).

Resposta

A aproximação do volume é 42 unidades cúbicas.

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