Estime o volume do sólido que está acima do quadrado R=[0,2] times[0,2] e abaixo do paraboloide elíptico z=16-x^2-2 y^2. Divida R em 16 quadrados iguais e escolha o ponto de amostragem como o canto superior esquerdo de cada quadrado Ri j.

Passo 1

Vamos estimar o volume usando soma de Riemann dupla, que é conteúdo de integrais duplas aproximadas por somas de valores da função em pontos de amostragem multiplicados pela área de cada sub-região.

Passo 2

Primeiro dividimos o quadrado R=[0,2]×[0,2] em 16 quadrados iguais, então Δx=Δy=0.5 e a área de cada quadrado é ΔA=Δx·Δy=0.25. Como ponto de amostragem escolhemos o canto superior esquerdo de cada quadradinho.
Denotando i,j de 1 a 4, as abscissas do canto esquerdo são x_{i-1}=(i-1)·0.5 e as ordenadas do canto superior são y_j=j·0.5. A soma de Riemann fica:
Vapproxsumi=1^4sumj=1^4f(xi-1,yj),De
onde f(x,y)=16−x2−2y2.

Passo 3

Agora calculamos as soma parciais de f em cada coluna x fixa:
Para x=0 (i=1) e y=0.5,1,1.5,2 obtemos f=15.5,14,11.5,8 somando 49.
Para x=0.5 (i=2) obtemos valores 15.25,13.75,11.25,7.75 somando 48.
Para x=1 (i=3) obtemos 14.5,13,10.5,7 somando 45.
Para x=1.5 (i=4) obtemos 13.25,11.75,9.25,5.75 somando 40.

Passo 4

Somando as colunas dá 49+48+45+40=182 e, multiplicando pela área ΔA=0.25, temos V≈182·0.25=45.5.

Resposta

45.5

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