Calcule a derivada de cada função aplicando as regras operatórias de derivação.
f(x)=\left(x^{2}+1\right)\left(\frac{2}{\sqrt[3]{x}}+9 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)\Bigl(\frac{2}{\sqrt[3]{x}}+9x+1\Bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e a regra da potência. Vamos precisar:
  1. Identificar u(x)=x^2+1 e v(x)=2x^{-1/3}+9x+1.
  2. Calcular u'(x) e v'(x).
  3. Aplicar
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 2

Chamando
u(x)=x^2+1, \qquad v(x)=2x^{-1/3}+9x+1,
pela regra do produto temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Usando a regra da potência para u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^2+1)=2x.

Passo 4

Agora, para
v(x)=2x^{-1/3}+9x+1,
aplicamos a regra da potência termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-1/3}\bigr) =2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)x^{-4/3} =-\tfrac{2}{3}x^{-4/3},
\frac{d}{dx}(9x)=9, \qquad \frac{d}{dx}(1)=0.
Logo,
v'(x)=9-\tfrac{2}{3}x^{-4/3}.

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)
temos
f'(x) =2x\bigl(2x^{-1/3}+9x+1\bigr)+(x^2+1)\Bigl(9-\tfrac{2}{3}x^{-4/3}\Bigr).

Passo 6

Vamos expandir e agrupar termos semelhantes. Primeiro o produto 2x\cdot(\dots):
2x\cdot2x^{-1/3}=4x^{2/3},\quad 2x\cdot9x=18x^2,\quad 2x\cdot1=2x.
Depois, (x^2+1)\cdot9=9x^2+9 e
(x^2+1)\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{3}x^{-4/3}\Bigr) =-\tfrac{2}{3}x^{2-4/3}-\tfrac{2}{3}x^{-4/3} =-\tfrac{2}{3}x^{2/3}-\tfrac{2}{3}x^{-4/3}.
Somando tudo:
f'(x) =18x^2+9x^2 +4x^{2/3}-\tfrac{2}{3}x^{2/3} +2x +9 -\tfrac{2}{3}x^{-4/3}.
Isto é,
f'(x) =27x^2 +\Bigl(4-\tfrac{2}{3}\Bigr)x^{2/3} +2x +9 -\tfrac{2}{3}x^{-4/3},
f'(x) =27x^2 +\tfrac{10}{3}x^{2/3} +2x +9 -\tfrac{2}{3}x^{-4/3}.

Resposta

f'(x) =27x^2 +\tfrac{10}{3}x^{2/3} +2x +9 -\tfrac{2}{3}x^{-4/3}.

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