Determine a reta tangente no ponto indicado.
f(x)=\sqrt{x+9} ; P(0, f(0))

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt{x+9} no ponto P cuja abscissa é x=0. Para isso, precisamos (i) encontrar as coordenadas de P, (ii) calcular a derivada de f e avaliá-la em x=0 para obter o coeficiente angular m, e (iii) usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Para achar as coordenadas de P, calculamos
f(0)=\sqrt{0+9}=\sqrt{9}=3.
Logo, P=(0,3).

Passo 3

A derivada de f(x)=\sqrt{x+9}=(x+9)^{1/2} é, pelas regras de derivação de potência e cadeia,
f'(x)=\frac{1}{2}(x+9)^{-1/2}\cdot 1 =\frac{1}{2\sqrt{x+9}}.

Passo 4

Avaliando em x=0, obtemos o coeficiente angular da tangente:
m=f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{0+9}} =\frac{1}{2\cdot 3} =\frac{1}{6}.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação da reta tangente em P=(0,3):
y - 3 = \frac{1}{6}\,(x - 0),
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y = \frac{1}{6}\,x + 3.

Resposta

A reta tangente é
y = \frac{1}{6}x + 3.

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