Seja f(x)=|2 x|. Então:
(a) Mostre que f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{r}2 \text { se } x>0 \\\\ -2 \text { se } x<0 .\end{array}\right..
(c) Mostre que f^{\prime}(0) não existe. (Use a definição)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=|2x|
e pede em (a) obter f'(x) para x\neq0 e em (c) mostrar que f'(0) não existe pelo método da definição de derivada. O conteúdo é derivada de valor absoluto, usando derivadas em pedaços e limite de diferença quociente.

Passo 2

Para x>0 temos 2x>0, logo
f(x)=|2x|=2x.
Derivando:
\frac{d}{dx}(2x)=2,
logo
f'(x)=2\quad\text{para }x>0.

Passo 3

Para x<0 temos 2x<0, logo
f(x)=|2x|=-2x.
Derivando:
\frac{d}{dx}(-2x)=-2,
logo
f'(x)=-2\quad\text{para }x<0.

Passo 4

Em x=0, usamos a definição
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{|2h|-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2|h|}{h}.
Para h\to0^+ isso vale
\lim_{h\to0^+}\frac{2h}{h}=2,
e para h\to0^- vale
\lim_{h\to0^-}\frac{2(-h)}{h}=-2.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe e, portanto, f'(0) não existe.

Resposta

(a) f'(x)=\begin{cases} 2,&x>0,\\\\ -2,&x<0. \end{cases}
(c) f'(0) não existe.

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