Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.

Passo 1

Temos a função composta
y = (6t^2 + 5)^3, (t^3 - 7)^4
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para derivadas e a regra da cadeia para cada fator.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, escrevemos
y' = f'(t),g(t) + f(t),g'(t)
onde
f(t) = (6t^2 + 5)^3,
g(t) = (t^3 - 7)^4

Passo 3

Agora derivamos cada parte usando a regra da cadeia:
Para f(t) = (6t^2 + 5)^3:
f'(t) = 3(6t^2 + 5)^2 cdot ddt(6t^2 + 5) = 3(6t^2 + 5)^2 cdot 12t = 36t, (6t^2 + 5)^2
Para g(t) = (t^3 - 7)^4:
g'(t) = 4(t^3 - 7)^3 cdot ddt(t^3 - 7) = 4(t^3 - 7)^3 cdot 3t^2 = 12t^2,(t^3 - 7)^3

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do produto, obtemos:
y' = 36t,(6t^2 + 5)^2,(t^3 - 7)^4 + (6t^2 + 5)^3,12t^2,(t^3 - 7)^3

Passo 5

Agora vamos fatorar o máximo em comum em ambos os termos:
Fator comum: 12t,(6t^2 + 5)^2,(t^3 - 7)^3. Dentro dos colchetes fica:
3(t^3 - 7) + t(6t^2 + 5) = 3t^3 - 21 + 6t^3 + 5t = 9t^3 + 5t - 21

Resposta

y' = 12t,(6t^2 + 5)^2,(t^3 - 7)^3,(9t^3 + 5t - 21)

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