Faça seu gráfico e determine seu domínio e imagem. Determine também
cc lim x 0^+ f(x) & lim x 0^- f(x) lim x 1^+ f(x) & lim x 1^- f(x)
O que se pode dizer sobre os limites de f(x) nos pontos 0 e 1 ?
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por partes
f(x)=-x,&x<01,&0=1
Precisamos: esboçar o gráfico, achar domínio e imagem, calcular os limites laterais em 0 e em 1 e comentar sobre esses limites.
Passo 2
Vamos analisar cada ramo para esboçar o gráfico:
Para x<0, f(x)=-x é uma reta de inclinação -1 refletida em relação ao eixo y. No ponto x=0 não há definição aqui, então marcamos um ponto aberto em (0,0).
Para 0, f(x)=1 é uma reta horizontal. Nos extremos x=0 e x=1 esses pontos são abertos (pois nessas abscissas valem outras definições).
Para x>=1, f(x)=x^2 é um ramo de parábola que parte de (1,1) com ponto fechado (pois aqui a definição vale em x=1).
Passo 3
O domínio é o conjunto de x onde a função está definida. Vemos definições para
x<0
0
x>=1
Não há definição em x=0, então
Domínio=(-infty,0)cup(0,1)cup[1,infty)í
Passo 4
Para a imagem, olhamos o que cada ramo produz:
Para x<0, -x>0, e quando xto-infty temos -xto+infty, e quando xto0^- temos -xto0^+. Isso gera o intervalo (0,infty).
O ramo 0 dá sempre 1, já contido em (0,infty).
Para x>=1, x^2>=1, também dentro de (0,infty).
Logo
Ima>=m=(0,infty)
Passo 5
Vamos aos limites em 0:
limxto0^+f(x) com 0 dá f(x)=1, então
limxto0^+f(x)=1
- limxto0^-f(x) com x<0 dá f(x)=-x, e quando xto0^- isso tende a 0, então limxto0^-f(x)=0
Passo 6
Agora os limites em 1:
limxto1^-f(x) com 0 vale sempre 1, logo
limxto1^-f(x)=1
- limxto1^+f(x) com x>1 vale x^2, e x^2to1 quando xto1, então limxto1^+f(x)=1
Passo 7
Como os limites em 0 são diferentes (0 e 1), limxto0f(x) não existe. Em 1, os limites laterais coincidem (ambos valem 1), então limxto1f(x)=1 e de fato f(1)=1, ou seja, a função é contínua em x=1, mas não tem limite em x=0.
Resposta
Domínio: (-infty,0)cup(0,1)cup[1,infty)
Imagem: (0,infty) limxto0^+f(x)=1, limxto0^-f(x)=0 limxto1^-f(x)=1, limxto1^+f(x)=1
Em x=0 os limites laterais são diferentes (não existe limite), e em x=1 os limites coincidem em 1 (há limite e a função é contínua).