Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.
(f(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}\
(f(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}\
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
. Isso envolve derivadas de funções compostas, então vamos usar a regra da cadeia junto com a regra do quociente e a derivada de potência.
Passo 2
Vamos definir duas funções:
como parte interna e
como parte externa, de modo que
. Assim fica mais fácil aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Calculamos primeiro
. Como
, temos
pela regra de potência.
Passo 4
Agora derivamos
usando a regra do quociente:
Passo 5
Pela regra da cadeia,
. Substituindo:
Passo 6
Para simplificar, note que
Passo 7
Logo, a derivada fica dada por