Calcule a derivada de cada função composta dada a seguir.
(f(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=raiz[3]x-1x+1. Isso envolve derivadas de funções compostas, então vamos usar a regra da cadeia junto com a regra do quociente e a derivada de potência.

Passo 2

Vamos definir duas funções: h(x)=x-1x+1 como parte interna e g(u)=u^1/3 como parte externa, de modo que f(x)=g(h(x)). Assim fica mais fácil aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos primeiro g'(u). Como g(u)=u^1/3, temos g'(u)=tfrac13u^-2/3 pela regra de potência.

Passo 4

Agora derivamos h(x)=x-1x+1 usando a regra do quociente:
h'(x)=(x+1)cdot1 - (x-1)cdot1(x+1)^2=(x+1)-(x-1)(x+1)^2=2(x+1)^2

Passo 5

Pela regra da cadeia, f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x). Substituindo: f'(x)=13l(h(x)r)^-2/3cdot2(x+1)^2=231l(x-1x+1r)^2/31(x+1)^2

Passo 6

Para simplificar, note que
1l(tfracx-1x+1r)^2/3(x+1)^2=(x+1)^2/3(x-1)^2/3(x+1)^2=1(x-1)^2/3(x+1)^4/3

Passo 7

Logo, a derivada fica dada por
f'(x)=23,(x-1)^2/3(x+1)^4/3

Resposta

f'(x)=23,(x-1)^2/3(x+1)^4/3

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