Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Temos a função f(x) = x^ln(x^2+1). Para derivá-la, vamos usar diferenciação logarítmica, pois base e expoente dependem de x.

Passo 2

Defino y = f(x) e aplico ln: ln y = ln(x^ln(x^2+1)). Usando propriedade de potência do log, ln y = ln(x^2+1),ln x.

Passo 3

Derivando implicitamente: no lado esquerdo tfrac1yy'; no direito é produto, então
ddx[ln(x^2+1),ln x] = 2xx^2+1ln x + ln(x^2+1)1x

Passo 4

Isolando y' e voltando para f(x), obtemos
f'(x) = x^ln(x^2+1)l(2xx^2+1ln x + ln(x^2+1)xr)

Resposta

f'(x) = x^ln(x^2+1)l(2xx^2+1ln x + ln(x^2+1)xr)

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