Calcule a derivada de cada função dada
f(x)=x^2-1x^5+x^4+1

Passo 1

Neste exercício vamos derivar a função
f(x) = x^2 - 1x^5 + x^4 + 1
usando a regra do quociente de derivadas.

Passo 2

Seja
u(x) = x^2 - 1
e
v(x) = x^5 + x^4 + 1
Então
u'(x) = 2x e v'(x) = 5x^4 + 4x^3
Pela regra do quociente,
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Agora vamos calcular o numerador e simplificar. Primeiro,
u'(x),v(x) = 2x(x^5 + x^4 + 1) = 2x^6 + 2x^5 + 2x
Em seguida,
u(x),v'(x) = (x^2 - 1)(5x^4 + 4x^3) = 5x^6 + 4x^5 - 5x^4 - 4x^3
Então o numerador fica
2x^6 + 2x^5 + 2x - (5x^6 + 4x^5 - 5x^4 - 4x^3) = -3x^6 - 2x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 2x
Portanto,
f'(x) = -3x^6 - 2x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 2x(x^5 + x^4 + 1)^2

Resposta

f'(x) = -3x^6 - 2x^5 + 5x^4 + 4x^3 + 2x(x^5 + x^4 + 1)^2

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