Calcule a derivada de cada função dada
f(x)=(x^2+1)(2 raiz[3]x+9 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(x^2+1)(2√[3]{x}+9x+1). O conteúdo aqui é regra do produto e derivada de potência (x^{1/3}). Vamos usar essas ideias.

Passo 2

Identificamos u(x)=x^2+1 e v(x)=2x^{1/3}+9x+1. Pela regra do produto, f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).

Passo 3

Derivando cada parte: u’(x)=2x. Para v(x), v’(x)=2·\frac{1}{3}x^{-2/3}+9 = \frac{2}{3}x^{-2/3}+9.

Passo 4

Substituindo em f’(x):
f'(x)=2x(2x^1/3+9x+1)+(x^2+1)l(23x^-2/3+9r)

Passo 5

Agora distribuímos e somamos termos semelhantes para simplificar:
2x·2x^1/3=4x^4/3, 2x·9x=18x^2, 2x·1=2x,
(x^2+1)·23x^-2/3=23x^4/3+23x^-2/3, (x^2+1)·9=9x^2+9

Passo 6

Somando tudo:
f'(x)=4x^4/3+18x^2+2x+23x^4/3+23x^-2/3+9x^2+9

Passo 7

Juntando termos semelhantes em x^{4/3} e x^2:
f'(x)=l(4+23r)x^4/3+(18+9)x^2+2x+23x^-2/3+9

Passo 8

E por fim:
f'(x)=143x^4/3+27x^2+2x+23x^-2/3+9

Resposta

f’(x)=\frac{14}{3}x{4/3}+27x2+2x+\frac{2}{3}x^{-2/3}+9

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