Calcule a derivada de cada função dada
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=(x^2+1)(2√[3]{x}+9x+1). O conteúdo aqui é regra do produto e derivada de potência (x^{1/3}). Vamos usar essas ideias.
Passo 2
Identificamos u(x)=x^2+1 e v(x)=2x^{1/3}+9x+1. Pela regra do produto, f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).
Passo 3
Derivando cada parte: u’(x)=2x. Para v(x), v’(x)=2·\frac{1}{3}x^{-2/3}+9 = \frac{2}{3}x^{-2/3}+9.
Passo 4
Substituindo em f’(x):
Passo 5
Agora distribuímos e somamos termos semelhantes para simplificar:
Passo 6
Somando tudo:
Passo 7
Juntando termos semelhantes em x^{4/3} e x^2:
Passo 8
E por fim:
Resposta
f’(x)=\frac{14}{3}x{4/3}+27x2+2x+\frac{2}{3}x^{-2/3}+9