Calcule a integral de superfície.
integral duplaS x^2 y z d S, onde S é a parte do plano 2 x+3 y-z+1=0, que está acima do retângulo [0,3] times[0,2] no plano x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de superfície . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de superfície, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície , que é uma parte do plano , e calcular o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar 2x + 3y - z + 1 = 0 em função de z = 2x + 3y + 1 e a partir da equação do plano. Isso vai facilitar a parametrização da superfície.
Dada a equação do plano:
Podemos isolar :

Passo 3

Agora que temos r(x, y) = lang<= x, y, 2x + 3y + 1 rang<= em função de e , podemos parametrizar a superfície como:
onde e , já que a superfície está acima do retângulo no plano .

Passo 4

Para calcular o elemento de área partial rpartial x = lang<= 1, 0, 2 rang<= , precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Isso envolve calcular o produto vetorial dos vetores derivadas parciais da parametrização em relação a partial rpartial y = lang<= 0, 1, 3 rang<= e partial rpartial x times partial rpartial y = i & j & k 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 = i(0 cdot 3 - 2 cdot 1) - j(1 cdot 3 - 2 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) .
Calculando as derivadas:
= -2i - 3j + 1k
| partial rpartial x times partial rpartial y | = raiz(-2)^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Agora, o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos x^2 y z = x^2 y (2x + 3y + 1) na função que queremos integrar:
x^2 y z = 2x^3 y + 3x^2 y^2 + x^2 y
Expandindo:

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla sobre o retângulo integral duplaS x^2 y z , dS = raiz14 integral0^3 integral0^2 (2x^3 y + 3x^2 y^2 + x^2 y) dy , dx :

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 (2x^3 y + 3x^2 y^2 + x^2 y) dy = 2x^3 cdot y^22 |0^2 + 3x^2 cdot y^33 |0^2 + x^2 cdot y^22 |0^2 :
= 2x^3 cdot 2 + 3x^2 cdot 83 + x^2 cdot 2
= 4x^3 + 8x^2 + 2x^2
= 4x^3 + 10x^2
raiz14 integral0^3 (4x^3 + 10x^2) dx = raiz14 (4 cdot x^44 + 10 cdot x^33) |0^3
Agora, integramos em relação a = raiz14 (x^4 + 103 x^3) |0^3 :
= raiz14 (81 + 103 cdot 27)
= raiz14 (81 + 90)
= raiz14 cdot 171
= 171raiz14

Resposta

A integral de superfície vale .

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