Calcule a integral de superfície. , onde é a parte do plano , que está acima do retângulo no plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de superfície . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de superfície, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície , que é uma parte do plano , e calcular o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos expressar em função de e a partir da equação do plano. Isso vai facilitar a parametrização da superfície.
Dada a equação do plano:
Podemos isolar :
Passo 3
Agora que temos em função de e , podemos parametrizar a superfície como:
onde e , já que a superfície está acima do retângulo no plano .
Passo 4
Para calcular o elemento de área , precisamos encontrar o vetor normal à superfície. Isso envolve calcular o produto vetorial dos vetores derivadas parciais da parametrização em relação a e .
Calculando as derivadas:
Agora, o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, .
Passo 5
Agora, substituímos x^2 y z = x^2 y (2x + 3y + 1) na função que queremos integrar:
x^2 y z = 2x^3 y + 3x^2 y^2 + x^2 y
Expandindo:
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla sobre o retângulo integral duplaS x^2 y z , dS = raiz14 integral0^3 integral0^2 (2x^3 y + 3x^2 y^2 + x^2 y) dy , dx :
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 (2x^3 y + 3x^2 y^2 + x^2 y) dy = 2x^3 cdot y^22 |0^2 + 3x^2 cdot y^33 |0^2 + x^2 cdot y^22 |0^2 :