Nos itens abaixo, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado.
f(x)=2 x-11-x^3 ; para x0=0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)= (2x-1)/(1-x^3) e a inclinação da reta tangente no ponto x₀=0. O conteúdo envolvido é derivada de quociente, e vamos precisar usar a regra do quociente.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para f(x)=N(x)/D(x), temos f’(x)=(N’(x)·D(x) – N(x)·D’(x))/(D(x))². Aqui identificamos N(x)=2x–1 e D(x)=1–x³.

Passo 3

Calculamos as derivadas N’(x) e D’(x): temos N’(x)=2 e D’(x)=–3x². Substituímos na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:
2·(1–x³) – (2x–1)·(–3x²) = 2 – 2x³ + 6x³ – 3x² = 2 – 3x² + 4x³.

Passo 4

Portanto, em forma de bloco:
f'(x) = 2 - 3x^2 + 4x^3(1 - x^3)^2

Passo 5

Para obter a inclinação da reta tangente em x₀=0, basta calcular f’(0). Substituindo x=0 em f’(x),
f’(0) = (2 – 3·0² + 4·0³)/(1 – 0³)² = 2/1 = 2. Logo a inclinação da reta tangente em x₀=0 é 2.

Resposta

f'(x) = 2 - 3x^2 + 4x^3(1 - x^3)^2, e a inclinação da reta tangente em x0=0 é 2.

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