Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
\arcsin (\sqrt{x}).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função \arcsin(\sqrt{x}).
Informações dadas: a função é \arcsin(\sqrt{x}). A tarefa é obter \dfrac{d}{dx}\big(\arcsin(\sqrt{x})\big) e indicar as propriedades (regras) usadas.
Passo 2
Primeiro vou dizer onde a função está definida e onde faz sentido falar da derivada: como \sqrt{x} exige x\ge 0 e \arcsin exige argumento em [-1,1], temos \sqrt{x}\in[0,1], isto é 0\le x\le 1. Na prática vou calcular a derivada para 0<x<1 (pontos interiores do domínio) — nesses pontos todas as regras que vou usar valem normalmente. Mais adiante comento o que ocorre em x=0 e x=1.
Passo 3
Regra principal que vou usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se f(x)=F(u(x)), onde F é diferenciável em u(x) e u é diferenciável em x, então
f'(x)=F'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui vou tomar F(t)=\arcsin(t) e u(x)=\sqrt{x}. Vou explicar e usar duas derivadas auxiliares: F'(t) e u'(x).
Passo 4
Derivada de \arcsin(t). Faço uma rápida dedução por diferenciação implícita: seja y=\arcsin(t). Então \sin(y)=t. Diferenciando ambos os lados em relação a t (tratando y como função de t) obtemos
\cos(y)\,\dfrac{dy}{dt}=1.
Logo
\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\cos(y)}.
Como \sin^2(y)+\cos^2(y)=1 e \sin(y)=t, temos \cos(y)=\sqrt{1-t^2} (escolhemos o sinal positivo pois \arcsin retorna valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] onde \cos\ge 0). Portanto
Essa expressão vale para 0<x<1 (onde todas as quantidades no denominador são positivas).
Passo 7
Comentário sobre os extremos do domínio: em x=0 ou x=1 o denominador 2\sqrt{x(1-x)} é zero, então a derivada conforme a fórmula acima tende a infinito; portanto não existe derivada finita nesses pontos (pelo menos não como número real finito). Então a derivada existe e é finita apenas para 0<x<1.