Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
\arcsin (\sqrt{x}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \arcsin(\sqrt{x}).
Informações dadas: a função é \arcsin(\sqrt{x}). A tarefa é obter \dfrac{d}{dx}\big(\arcsin(\sqrt{x})\big) e indicar as propriedades (regras) usadas.

Passo 2

Primeiro vou dizer onde a função está definida e onde faz sentido falar da derivada: como \sqrt{x} exige x\ge 0 e \arcsin exige argumento em [-1,1], temos \sqrt{x}\in[0,1], isto é 0\le x\le 1. Na prática vou calcular a derivada para 0<x<1 (pontos interiores do domínio) — nesses pontos todas as regras que vou usar valem normalmente. Mais adiante comento o que ocorre em x=0 e x=1.

Passo 3

Regra principal que vou usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte: se f(x)=F(u(x)), onde F é diferenciável em u(x) e u é diferenciável em x, então
f'(x)=F'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui vou tomar F(t)=\arcsin(t) e u(x)=\sqrt{x}. Vou explicar e usar duas derivadas auxiliares: F'(t) e u'(x).

Passo 4

Derivada de \arcsin(t). Faço uma rápida dedução por diferenciação implícita: seja y=\arcsin(t). Então \sin(y)=t. Diferenciando ambos os lados em relação a t (tratando y como função de t) obtemos
\cos(y)\,\dfrac{dy}{dt}=1.
Logo
\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{\cos(y)}.
Como \sin^2(y)+\cos^2(y)=1 e \sin(y)=t, temos \cos(y)=\sqrt{1-t^2} (escolhemos o sinal positivo pois \arcsin retorna valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] onde \cos\ge 0). Portanto
\boxed{\,\dfrac{d}{dt}\big(\arcsin(t)\big)=\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,.}
(Validade: para |t|<1.)

Passo 5

Derivada de u(x)=\sqrt{x}. Escrevo como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}. Pela regra da potência,
\boxed{\,\dfrac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,}
(Validade: para x>0.)

Passo 6

Agora aplico a regra da cadeia com F(t)=\arcsin(t) e t=u(x)=\sqrt{x}. Temos
\dfrac{d}{dx}\big(\arcsin(\sqrt{x})\big) = \dfrac{d}{dt}\big(\arcsin(t)\big)\Big|_{t=\sqrt{x}}\cdot \dfrac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big).
Substituindo as fórmulas obtidas nos passos anteriores:
\dfrac{d}{dx}\big(\arcsin(\sqrt{x})\big) = \dfrac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Simplifico (\sqrt{x})^2=x e multiplico os radicais:
\dfrac{d}{dx}\big(\arcsin(\sqrt{x})\big) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x}\; \cdot 2\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}.
Essa expressão vale para 0<x<1 (onde todas as quantidades no denominador são positivas).

Passo 7

Comentário sobre os extremos do domínio: em x=0 ou x=1 o denominador 2\sqrt{x(1-x)} é zero, então a derivada conforme a fórmula acima tende a infinito; portanto não existe derivada finita nesses pontos (pelo menos não como número real finito). Então a derivada existe e é finita apenas para 0<x<1.

Resposta

\dfrac{1}{2\sqrt{x(1-x)}},\\ \text{para }0<x<1

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