Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
a) f(x, y)=2 x^{2} y \mathrm{em}(1,1, f(1,1)).
b) f(x, y)=x^{2}+y^{2} \mathrm{em}(0,1, f(0,1)).
c) f(x, y)=3 x^{3} y-x y em (1,-1, f(1,-1)).
Passo 1
O enunciado pede, para cada função, duas coisas no ponto indicado: (1) a equação do plano tangente ao gráfico da função e (2) a equação da reta normal ao gráfico, ambas no ponto dado. As informações fornecidas são:
(a) Função \;f(x,y)=2x^{2}y\; e ponto \;(1,1,f(1,1)).
(b) Função \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\; e ponto \;(0,1,f(0,1)).
(c) Função \;f(x,y)=3x^{3}y-xy\; e ponto \;(1,-1,f(1,-1)).
Não comecei a calcular nada ainda; só organizei o que cada item pede e quais são os dados.
Passo 2
Antes de calcular: vamos lembrar a ferramenta que usaremos — e por que ela funciona — de forma bem prática.
O gráfico de [f) é a superfície dada por \;z=f(x,y)\;. Num ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) essa superfície tem um plano tangente que é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto.
A fórmula do plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui \;f_x\; e \;f_y\; são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente, avaliadas no ponto. Significado intuitivo: \;f_x(x_0,y_0)\; diz como z muda se eu variar x mantendo y fixo; \;f_y(x_0,y_0)\; diz como z muda se eu variar y mantendo x fixo.
A reta normal à superfície no ponto é a reta que é perpendicular ao plano tangente. Um vetor normal ao plano tangente (e à superfície) é
(Justificação breve: o plano tangente tem equação z - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0) - f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0. O vetor de coeficientes (-f_x,-f_y,1) é normal a esse plano.) Assim, a reta normal em forma paramétrica é
\begin{cases} x = x_0 - f_x(x_0,y_0)\,t,\\[4pt] y = y_0 - f_y(x_0,y_0)\,t,\\[4pt] z = f(x_0,y_0) + t, \end{cases}
onde (t] é o parâmetro. (Pode-se usar outro parâmetro e vetor colinear, tanto faz.)
Agora que temos a receita: calcular f_x,f_y e f(x_0,y_0), aplicamos as fórmulas acima.]
Passo 3
Parte (a): calcular parciais para \;f(x,y)=2x^{2}y.
Para \;f_x: considere y como constante. A derivada de x^{2} é 2x, então
f_x(x,y) = 2\cdot(2x)\cdot y = 4xy.
Para \;f_y: considere x como constante. A derivada de y é 1, então
f_y(x,y) = 2x^{2}.
Passo 4
Parte (a): avaliar em (x_0,y_0)=(1,1) e montar plano e reta.