Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
a) f(x, y)=2 x^{2} y \mathrm{em}(1,1, f(1,1)).
b) f(x, y)=x^{2}+y^{2} \mathrm{em}(0,1, f(0,1)).
c) f(x, y)=3 x^{3} y-x y em (1,-1, f(1,-1)).

Passo 1

O enunciado pede, para cada função, duas coisas no ponto indicado: (1) a equação do plano tangente ao gráfico da função e (2) a equação da reta normal ao gráfico, ambas no ponto dado. As informações fornecidas são:
(a) Função \;f(x,y)=2x^{2}y\; e ponto \;(1,1,f(1,1)).
(b) Função \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\; e ponto \;(0,1,f(0,1)).
(c) Função \;f(x,y)=3x^{3}y-xy\; e ponto \;(1,-1,f(1,-1)).
Não comecei a calcular nada ainda; só organizei o que cada item pede e quais são os dados.

Passo 2

Antes de calcular: vamos lembrar a ferramenta que usaremos — e por que ela funciona — de forma bem prática.
  • O gráfico de [f) é a superfície dada por \;z=f(x,y)\;. Num ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) essa superfície tem um plano tangente que é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto.
  • A fórmula do plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui \;f_x\; e \;f_y\; são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente, avaliadas no ponto. Significado intuitivo: \;f_x(x_0,y_0)\; diz como z muda se eu variar x mantendo y fixo; \;f_y(x_0,y_0)\; diz como z muda se eu variar y mantendo x fixo.
  • A reta normal à superfície no ponto é a reta que é perpendicular ao plano tangente. Um vetor normal ao plano tangente (e à superfície) é
\mathbf{n} = \bigl(-f_x(x_0,y_0),\; -f_y(x_0,y_0),\; 1\bigr).
(Justificação breve: o plano tangente tem equação z - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0) - f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0. O vetor de coeficientes (-f_x,-f_y,1) é normal a esse plano.) Assim, a reta normal em forma paramétrica é
\begin{cases} x = x_0 - f_x(x_0,y_0)\,t,\\[4pt] y = y_0 - f_y(x_0,y_0)\,t,\\[4pt] z = f(x_0,y_0) + t, \end{cases}
onde (t] é o parâmetro. (Pode-se usar outro parâmetro e vetor colinear, tanto faz.)
Agora que temos a receita: calcular f_x,f_y e f(x_0,y_0), aplicamos as fórmulas acima.]

Passo 3

Parte (a): calcular parciais para \;f(x,y)=2x^{2}y.
  • Para \;f_x: considere y como constante. A derivada de x^{2} é 2x, então
f_x(x,y) = 2\cdot(2x)\cdot y = 4xy.
  • Para \;f_y: considere x como constante. A derivada de y é 1, então
f_y(x,y) = 2x^{2}.

Passo 4

Parte (a): avaliar em (x_0,y_0)=(1,1) e montar plano e reta.
  • Valor da função:
f(1,1)=2\cdot 1^{2}\cdot 1 = 2.
  • Parciais no ponto:
f_x(1,1)=4\cdot 1\cdot 1=4,\qquad f_y(1,1)=2\cdot 1^{2}=2.
  • Plano tangente pela fórmula:
z = f(1,1) + f_x(1,1)(x-1) + f_y(1,1)(y-1).
Substituindo:
z = 2 + 4(x-1) + 2(y-1).
Fazendo as contas:
z = 2 + 4x-4 + 2y-2 = 4x + 2y -4.

Passo 5

Parte (a): reta normal. Usando o vetor normal (-f_x,-f_y,1)=(-4,-2,1), a forma paramétrica é
\begin{cases} x = 1 - 4t,\\[4pt] y = 1 - 2t,\\[4pt] z = 2 + t. \end{cases}]

Passo 6

Parte (b): calcular parciais para \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Derivando em relação a x (com y fixo):
f_x(x,y)=2x.
  • Derivando em relação a y (com x fixo):
f_y(x,y)=2y.

Passo 7

Parte (b): avaliar em (x_0,y_0)=(0,1) e montar plano e reta.
  • Valor da função:
f(0,1)=0^{2}+1^{2}=1.
  • Parciais no ponto:
f_x(0,1)=2\cdot 0 = 0,\qquad f_y(0,1)=2\cdot 1 = 2.
  • Plano tangente:
z = f(0,1) + f_x(0,1)(x-0) + f_y(0,1)(y-1).
Substituindo:
z = 1 + 0\cdot x + 2(y-1) = 1 + 2(y-1).
Simplificando:
z = 2y -1.

Passo 8

Parte (b): reta normal. Vetor normal (-f_x,-f_y,1)=(0,-2,1). Reta paramétrica:
\begin{cases} x = 0,\\[4pt] y = 1 - 2t,\\[4pt] z = 1 + t. \end{cases}]

Passo 9

Parte (c): calcular parciais para \;f(x,y)=3x^{3}y-xy.
  • Para \;f_x: trate y como constante. Derivando termo a termo,
\frac{\partial}{\partial x}(3x^{3}y)=3y\cdot 3x^{2}=9x^{2}y,\qquad \frac{\partial}{\partial x}(-xy)=-y.
Logo
f_x(x,y)=9x^{2}y - y = y(9x^{2}-1).
  • Para \;f_y: trate x como constante:
f_y(x,y)=3x^{3}-x.

Passo 10

Parte (c): avaliar em (x_0,y_0)=(1,-1) e montar plano e reta.
  • Valor da função:
f(1,-1)=3\cdot 1^{3}\cdot(-1) - 1\cdot(-1) = -3 +1 = -2.
  • Parciais no ponto:
f_x(1,-1) = (-1)\bigl(9\cdot 1^{2}-1\bigr) = -1\cdot 8 = -8,
f_y(1,-1) = 3\cdot 1^{3} - 1 = 3 -1 = 2.
  • Plano tangente:
z = f(1,-1) + f_x(1,-1)(x-1) + f_y(1,-1)(y+1).
Substituindo:
z = -2 + (-8)(x-1) + 2(y+1).
Fazendo as contas:
z = -2 -8x +8 +2y +2 = -8x + 2y +8.

Passo 11

Parte (c): reta normal. Vetor normal (-f_x,-f_y,1) = (8,-2,1). Reta paramétrica:
\begin{cases} x = 1 + 8t,\\[4pt] y = -1 - 2t,\\[4pt] z = -2 + t. \end{cases}]

Resposta

(a) Plano tangente:
z = 4x + 2y - 4
Reta normal:
x = 1 - 4t,\quad y = 1 - 2t,\quad z = 2 + t
(b) Plano tangente:
z = 2y - 1
Reta normal:
x = 0,\quad y = 1 - 2t,\quad z = 1 + t
(c) Plano tangente:
z = -8x + 2y + 8
Reta normal:
x = 1 + 8t,\quad y = -1 - 2t,\quad z = -2 + t

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