Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
x^{7} \operatorname{cosec}(x).
x^{7} \operatorname{cosec}(x).
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
e indicar as propriedades usadas.
Informações dadas: a função é .
O que se pede explicitamente: obter (a derivada) e explicitar quais propriedades (regras de derivação) foram usadas.
Informações dadas: a função é
O que se pede explicitamente: obter
Passo 2
Vamos separar a função em duas partes para trabalhar com calma. Definimos
e
Isso é só uma escrita mais organizada: a função é o produto
. A propriedade que usaremos primeiro é a Regra do Produto, que diz que se
então
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
. Explico em breve como calcular cada uma.
Passo 3
Derivada de
. Usamos a Regra do Poder (power rule): para
com
constante,
. Aplicando com
obtemos
Explicação curta do porquê (intuição): a regra do poder vem de limites ou da expansão binomial ao desenvolver
; na prática, memorize que a potência “desce” e diminui o expoente em 1.
Passo 4
Derivada de
. É útil lembrar que
. Vamos derivar usando a Regra da Cadeia e a regra para potência de função composta. Seja
e
. Então
. A Regra da Cadeia dá
Calculamos
e
. Substituindo,
Agora usamos as identidades trigonométricas
e
para reescrever:
Portanto
Resumo: usamos Regra da Cadeia + derivada de
(que é
) + identidades trigonométricas.
Passo 5
Agora aplicamos a Regra do Produto com
,
,
e
. Assim
Organizando os sinais:
Passo 6
Podemos fatorar um fator comum para deixar a resposta mais compacta e muitas vezes mais clara na hora da prova. Note que
é fator comum em ambos os termos. Fatorando:
Essa forma é útil porque mostra claramente a dependência em
e o restante dentro do parêntese.
Passo 7
Liste das propriedades que usamos (explicadas durante a resolução):
Resposta
ou, fatorada,