Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
x^{7} \operatorname{cosec}(x).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \displaystyle x^{7}\operatorname{cosec}(x) e indicar as propriedades usadas.
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=x^{7}\operatorname{cosec}(x).
O que se pede explicitamente: obter f'(x) (a derivada) e explicitar quais propriedades (regras de derivação) foram usadas.

Passo 2

Vamos separar a função em duas partes para trabalhar com calma. Definimos
u(x)=x^{7}
e
v(x)=\operatorname{cosec}(x).
Isso é só uma escrita mais organizada: a função é o produto f(x)=u(x)\,v(x). A propriedade que usaremos primeiro é a Regra do Produto, que diz que se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) a derivada de v. Explico em breve como calcular cada uma.

Passo 3

Derivada de u(x)=x^{7}. Usamos a Regra do Poder (power rule): para u(x)=x^{n} com n constante, u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=7 obtemos
u'(x)=7x^{6}.
Explicação curta do porquê (intuição): a regra do poder vem de limites ou da expansão binomial ao desenvolver (x+h)^n; na prática, memorize que a potência “desce” e diminui o expoente em 1.

Passo 4

Derivada de v(x)=\operatorname{cosec}(x). É útil lembrar que \operatorname{cosec}(x)=\dfrac{1}{\sin x}=(\sin x)^{-1}. Vamos derivar usando a Regra da Cadeia e a regra para potência de função composta. Seja g(t)=t^{-1} e t(x)=\sin x. Então v(x)=g(t(x)). A Regra da Cadeia dá
v'(x)=g'(t(x))\cdot t'(x).
Calculamos g'(t)=-1\cdot t^{-2}=-t^{-2} e t'(x)=\cos x. Substituindo,
v'(x)=-(\sin x)^{-2}\cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Agora usamos as identidades trigonométricas \operatorname{cosec}(x)=\dfrac{1}{\sin x} e \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} para reescrever:
-\frac{\cos x}{\sin^{2}x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\operatorname{cosec}(x)\,\cot x.
Portanto
v'(x)=-\operatorname{cosec}(x)\,\cot x.
Resumo: usamos Regra da Cadeia + derivada de \sin x (que é \cos x) + identidades trigonométricas.

Passo 5

Agora aplicamos a Regra do Produto com u'(x)=7x^{6}, u(x)=x^{7}, v(x)=\operatorname{cosec}(x) e v'(x)=-\operatorname{cosec}(x)\cot x. Assim
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=7x^{6}\operatorname{cosec}(x)+x^{7}\bigl(-\operatorname{cosec}(x)\cot x\bigr).
Organizando os sinais:
f'(x)=7x^{6}\operatorname{cosec}(x)-x^{7}\operatorname{cosec}(x)\cot x.

Passo 6

Podemos fatorar um fator comum para deixar a resposta mais compacta e muitas vezes mais clara na hora da prova. Note que x^{6}\operatorname{cosec}(x) é fator comum em ambos os termos. Fatorando:
f'(x)=x^{6}\operatorname{cosec}(x)\bigl(7 - x\cot x\bigr).
Essa forma é útil porque mostra claramente a dependência em x^{6}\operatorname{cosec}(x) e o restante dentro do parêntese.

Passo 7

Liste das propriedades que usamos (explicadas durante a resolução):
\begin{aligned} &\text{1. Regra do Produto: }(uv)'=u'v+uv'.\\[4pt] &\text{2. Regra do Poder: }(x^{n})'=n x^{n-1}.\\[4pt] &\text{3. Derivada de } \sin x: (\sin x)'=\cos x.\\[4pt] &\text{4. Regra da Cadeia: }(g\circ h)'=(g'\circ h)\cdot h'.\\[4pt] &\text{5. Identidades trigonométricas usadas: } \operatorname{cosec}x=\dfrac{1}{\sin x},\quad \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}. \end{aligned}é]

Resposta

f'(x)=7x^{6}\operatorname{cosec}(x)-x^{7}\operatorname{cosec}(x)\cot x
ou, fatorada,
f'(x)=x^{6}\operatorname{cosec}(x)\bigl(7 - x\cot x\bigr)

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