Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
\cos (x+2)+\sin \left(x^{2}\right).
\cos (x+2)+\sin \left(x^{2}\right).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas (explicitadas):
Queremos
.
Passo 2
Regras e propriedades que vou usar (explicadas de forma direta):
Isto significa que posso derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.
Aqui
é a variável independente; quando temos
ou
aplicados a uma função
usamos a regra abaixo.
Isto diz: derivo a função externa
avaliando em
e multiplico pela derivada da função interna
.
Usarei para
:
.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
:
- Identifico a função externa
e a função interna . - Pela regra da cadeia,
- Sabendo que
e que , obtemos
Explicação curta: o
não altera a inclinação (derivada é
), então apenas aparece o
com a mesma interioridade.
Passo 4
Derivada do segundo termo
:
- Identifico a função externa
e a interna . - Pela regra da cadeia,
- Sabendo que
e que , obtemos
Explicação curta: derivamos o seno pela cadeia, e a derivada de
traz o fator
.
Passo 5
Aplicando a regra da soma (passo 2) e somando os resultados dos passos anteriores:
Isso já está simplificado e é a forma final da derivada.
Passo 6
Dica rápida para a prova: identifique sempre a função externa e interna (para aplicar a cadeia). Se o interior for linear como
, a derivada interna fica fácil (
); se for uma potência como
, aplique a regra da potência (
). Respira fundo e faça termo a termo pela linearidade.