Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
\cos (x+2)+\sin \left(x^{2}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\cos\left(x+2\right)+\sin\left(x^{2}\right).
Informações dadas (explicitadas):
\text{termos: }\cos\left(x+2\right)\quad\text{e}\quad\sin\left(x^{2}\right).
Queremos \dfrac{d}{dx}f(x).

Passo 2

Regras e propriedades que vou usar (explicadas de forma direta):
\text{(1) Regra da soma (linearidade):}\quad \frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x).
Isto significa que posso derivar cada parcela separadamente e somar os resultados.
\text{(2) Derivadas básicas:}\quad \frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.á
Aqui x é a variável independente; quando temos \sin ou \cos aplicados a uma função g(x) usamos a regra abaixo.
\text{(3) Regra da cadeia:}\quad \frac{d}{dx}\big(F(g(x))\big)=F'(g(x))\cdot g'(x).
Isto diz: derivo a função externa F avaliando em g(x) e multiplico pela derivada da função interna g(x).
\text{(4) Potência simples:}\quad \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{\,n-1}.ê
Usarei para x^{2}: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \cos\left(x+2\right):
  • Identifico a função externa F(t)=\cos t e a função interna g(x)=x+2.
  • Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos\left(x+2\right)=\left(\frac{d}{dt}\cos t\Big|_{t=g(x)}\right)\cdot g'(x).
  • Sabendo que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e que g'(x)=\dfrac{d}{dx}(x+2)=1, obtemos
\frac{d}{dx}\cos\left(x+2\right)=-\sin\left(x+2\right)\cdot 1=-\sin\left(x+2\right).
Explicação curta: o +2 não altera a inclinação (derivada é 1), então apenas aparece o -\sin com a mesma interioridade.

Passo 4

Derivada do segundo termo \sin\left(x^{2}\right):
  • Identifico a função externa F(t)=\sin t e a interna h(x)=x^{2}.
  • Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sin\left(x^{2}\right)=\left(\frac{d}{dt}\sin t\Big|_{t=h(x)}\right)\cdot h'(x).
  • Sabendo que \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e que h'(x)=\dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, obtemos
\frac{d}{dx}\sin\left(x^{2}\right)=\cos\left(x^{2}\right)\cdot 2x=2x\cos\left(x^{2}\right).
Explicação curta: derivamos o seno pela cadeia, e a derivada de x^{2} traz o fator 2x.

Passo 5

Aplicando a regra da soma (passo 2) e somando os resultados dos passos anteriores:
\frac{d}{dx}\Big(\cos\left(x+2\right)+\sin\left(x^{2}\right)\Big) = -\sin\left(x+2\right)+2x\cos\left(x^{2}\right).
Isso já está simplificado e é a forma final da derivada.

Passo 6

Dica rápida para a prova: identifique sempre a função externa e interna (para aplicar a cadeia). Se o interior for linear como x+2, a derivada interna fica fácil ( 1); se for uma potência como x^{2}, aplique a regra da potência ( 2x). Respira fundo e faça termo a termo pela linearidade.

Resposta

-\sin\left(x+2\right)+2x\cos\left(x^{2}\right)

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