Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é
com . - A raiz quadrada exige
; o denominador exige (ou seja, ). Na prática a derivada que vamos obter é válida para e (em o termo não está definido). - É solicitado também que eu indique as propriedades usadas (vou apontá‑las ao longo da resolução).
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): trata‑se de uma composição de funções: uma tangente aplicada a
. Para funções compostas usamos a regra da cadeia. Vou expor a regra da cadeia e as outras fórmulas que vou usar, explicando cada símbolo:
- Regra da cadeia: se
então
Aqui
é a função externa (dependendo de uma variável
) e
é a função interna (dependendo de
). Esta regra diz: derivada da composição = derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna.
Passo 3
Derivada da função externa: a derivada de
em relação a
é
onde
. Propriedade usada: derivada da tangente.
Portanto, pela regra da cadeia teremos
Passo 4
Agora calculamos
com
. Aqui aplicamos a regra do quociente:
- Regra do quociente: se
então
No nosso caso
e
.
Calcule
e
:
- Derivada de
: usamos a regra da potência . Assim
- Derivada de
é (derivada de constante é 0 e de é 1).
Agora aplicando o quociente:
Passo 5
Simplificação algébrica de
. Coloco o numerador sobre um mesmo denominador
:
Portanto
Propriedades usadas: regra do quociente, regra da potência, e simplificação algébrica (colocar termos sobre denominador comum).
Passo 6
Volto à regra da cadeia e combino com
. Lembre que
e
. Assim:
Opcionalmente podemos escrever
como
, ficando
Passo 7
Resumo das propriedades usadas (lista final, para você decorar e aplicar na prova):
- Regra da cadeia: para derivar composição
. - Derivada de
: . - Regra do quociente:
. - Regra da potência:
(usada para ). - Derivada de função linear:
. - Álgebra básica para combinar termos e simplificar frações.