Calcule a derivada de cada função. Indique as propriedades usadas.
\operatorname{tg}\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right).
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é f(x)=\operatorname{tg}\!\big(u(x)\big) com u(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}.
  • A raiz quadrada exige x\ge 0; o denominador exige 1+x\neq 0 (ou seja, x\neq -1). Na prática a derivada que vamos obter é válida para x>0 e x\neq -1 (em x=0 o termo 1/(2\sqrt{x}) não está definido).
  • É solicitado também que eu indique as propriedades usadas (vou apontá‑las ao longo da resolução).

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): trata‑se de uma composição de funções: uma tangente aplicada a u(x). Para funções compostas usamos a regra da cadeia. Vou expor a regra da cadeia e as outras fórmulas que vou usar, explicando cada símbolo:
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(u(x)) então
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Aqui g é a função externa (dependendo de uma variável u) e u(x) é a função interna (dependendo de x). Esta regra diz: derivada da composição = derivada da externa avaliada na interna vezes derivada da interna.

Passo 3

Derivada da função externa: a derivada de \operatorname{tg}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\operatorname{tg}(u)=\operatorname{sec}^2(u),
onde \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}. Propriedade usada: derivada da tangente.
Portanto, pela regra da cadeia teremos
f'(x)=\operatorname{sec}^2\!\big(u(x)\big)\cdot u'(x).

Passo 4

Agora calculamos u'(x) com u(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}. Aqui aplicamos a regra do quociente:
  • Regra do quociente: se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} então
u'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{[w(x)]^2}.
No nosso caso v(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} e w(x)=1+x.
Calcule v'(x) e w'(x):
  • Derivada de v(x)=x^{1/2}: usamos a regra da potência \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1}. Assim
v'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Derivada de w(x)=1+x é w'(x)=1 (derivada de constante é 0 e de x é 1).
Agora aplicando o quociente:
u'(x)=\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\,(1+x)-\sqrt{x}\cdot 1}{(1+x)^2}.

Passo 5

Simplificação algébrica de u'(x). Coloco o numerador sobre um mesmo denominador 2\sqrt{x}:
\frac{1}{2\sqrt{x}}\,(1+x)-\sqrt{x} =\frac{1+x}{2\sqrt{x}}-\frac{2x}{2\sqrt{x}} =\frac{1+x-2x}{2\sqrt{x}} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}}.
Portanto
u'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(1+x)^2}.
Propriedades usadas: regra do quociente, regra da potência, e simplificação algébrica (colocar termos sobre denominador comum).

Passo 6

Volto à regra da cadeia e combino com u'(x). Lembre que f'(x)=\operatorname{sec}^2\big(u(x)\big)\cdot u'(x) e u(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}. Assim:
f'(x)=\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right)\cdot \frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(1+x)^2}.
Opcionalmente podemos escrever \operatorname{sec}^2 como \dfrac{1}{\cos^2}, ficando
f'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(1+x)^2}\;\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right) =\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(1+x)^2}\cdot\frac{1}{\cos^2\!\left(\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\right)}.

Passo 7

Resumo das propriedades usadas (lista final, para você decorar e aplicar na prova):
  • Regra da cadeia: para derivar composição g(u(x)).
  • Derivada de \operatorname{tg}(u): \dfrac{d}{du}\operatorname{tg}(u)=\operatorname{sec}^2(u).
  • Regra do quociente: \big(\dfrac{v}{w}\big)'=\dfrac{v'w-vw'}{w^2}.
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1} (usada para \sqrt{x}=x^{1/2}).
  • Derivada de função linear: (1+x)'=1.
  • Álgebra básica para combinar termos e simplificar frações.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\sqrt{x}}{1+x}\right)\cdot\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(1+x)^2}

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