Seja
uma função derivável com
-
,
-
,
-
.
Calcule a derivada de
no ponto $x=1.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
no ponto
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Ou seja, sabemos o valor de
em
e as derivadas de
em
e em
. A tarefa é calcular
.
Passo 2
Vamos escrever claramente o que queremos: queremos
onde
Isto é,
é a composição de
com ela mesma. Precisamos de uma expressão geral para a derivada de uma composição para então avaliar em
.
Passo 3
A regra fundamental que usamos aqui (a chamada regra da cadeia) diz o seguinte: se
é uma função diferenciável e
também é diferenciável, então a derivada da composição
é dada por
Explicando de forma bem intuitiva: quando eu mudo
um pouco,
muda numa taxa
; ao mesmo tempo, a mudança de
por unidade de
é
. Então a mudança total de
por unidade de
é o produto dessas duas taxas. Outra maneira de ver rapidamente é usar a aproximação linear:
e
; combinando obtém-se a fórmula acima.
Passo 4
Aplicando essa fórmula à nossa função
, fazemos
. Assim
Aqui
significa: calcule a derivada de
no ponto
; depois multiplique pelo valor de
.
Passo 5
Agora avaliamos em
. Usamos os dados do enunciado:
,
e
. Substituindo em
obtemos