Seja f uma função derivável com
  • f(1)=2,
  • \frac{d f}{d x}(2)=3,
  • \frac{d f}{d x}(1)=-3.
Calcule a derivada de g(x)=f(f(x)) no ponto $x=1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=f(f(x)) no ponto x=1.
As informações dadas são:
f(1)=2,
\frac{d f}{d x}(2)=3,
\frac{d f}{d x}(1)=-3.
Ou seja, sabemos o valor de f em 1 e as derivadas de f em 1 e em 2. A tarefa é calcular g'(1).

Passo 2

Vamos escrever claramente o que queremos: queremos g'(1) onde
g(x)=f(f(x)).
Isto é, g é a composição de f com ela mesma. Precisamos de uma expressão geral para a derivada de uma composição para então avaliar em x=1.

Passo 3

A regra fundamental que usamos aqui (a chamada regra da cadeia) diz o seguinte: se u(x) é uma função diferenciável e f também é diferenciável, então a derivada da composição h(x)=f(u(x)) é dada por
h'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x).
Explicando de forma bem intuitiva: quando eu mudo x um pouco, u(x) muda numa taxa u'(x); ao mesmo tempo, a mudança de f por unidade de u é f'(u(x)). Então a mudança total de f(u(x)) por unidade de x é o produto dessas duas taxas. Outra maneira de ver rapidamente é usar a aproximação linear: u(x+\Delta x)\approx u(x)+u'(x)\Delta x e f(u+\Delta u)\approx f(u)+f'(u)\Delta u; combinando obtém-se a fórmula acima.

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa função g(x)=f(f(x)), fazemos u(x)=f(x). Assim
g'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x).
Aqui f'(f(x)) significa: calcule a derivada de f no ponto u=f(x); depois multiplique pelo valor de f'(x).

Passo 5

Agora avaliamos em x=1. Usamos os dados do enunciado: \,f(1)=2, \,f'(2)=3 e \,f'(1)=-3. Substituindo em
g'(1)=f'(f(1))\cdot f'(1),
obtemos
g'(1)=f'(2)\cdot f'(1)=3\cdot(-3)=-9.

Resposta

-9

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