Encontre as funções f circ g, g circ f, f circ f e g circ g e seus domínios.
f(x)=1x-1, g(x)=x-1x+1.

Passo 1

O enunciado pede as quatro composições
;fcirc g,;gcirc f,;fcirc f,;gcirc g\n
e seus domínios. Vamos usar que, para h=fcirc g, temos
h(x)=fl(g(x)r),
e
dom(h)=,xindom(g)mid g(x)indom(f)!

Passo 2

Cálculo de fcirc g e seu domínio.
fcirc g(x) =1g(x)-1 =1x-1x+1-1 =1x-1-(x+1)x+1 =1-2x+1 =-x+12
Para que isso faça sentido, precisamos de x em dom(g), ou seja xneq -1, e de g(x)neq1. A equação tfracx-1x+1=1 levaria a -1=1, impossível. Logo
dom(fcirc g)=xinRmid xneq -1

Passo 3

Cálculo de gcirc f e seu domínio.
gcirc f(x) =f(x)-1f(x)+1 =1x-1-11x-1+1 =1-(x-1)x-11+(x-1)x-1 =2-xx
Aqui exigimos xneq1 (para f estar definida) e f(x)neq -1, ou seja
1x-1neq -1 Longrightarrow xneq0
Portanto
dom(gcirc f)=xinRmid xneq0,;xneq1

Passo 4

Cálculo de fcirc f e seu domínio.
fcirc f(x) =1f(x)-1 =11x-1-1 =x-11-(x-1) =x-12-x
Exigimos xneq1 (para f inicial) e tfrac1x-1neq1, ou seja xneq2. Logo
dom(fcirc f)=xinRmid xneq1,;xneq2

Passo 5

Cálculo de gcirc g e seu domínio.
gcirc g(x) =g(x)-1g(x)+1 =x-1x+1-1x-1x+1+1 =-2/(x+1)2x/(x+1) =-1x
Precisamos xneq -1 (para g inicial) e g(x)neq -1, isto é
x-1x+1neq -1 ;Longrightarrow;2xneq0 ;Longrightarrow;xneq0
Assim
dom(gcirc g)=xinRmid xneq -1,;xneq0

Resposta

fcirc g(x)=-x+12, dom(fcirc g)=xmid xneq -1
gcirc f(x)=2-xx, dom(gcirc f)=xmid xneq0,,xneq1
fcirc f(x)=x-12-x, dom(fcirc f)=xmid xneq1,,xneq2
gcirc g(x)=-1x, dom(gcirc g)=xmid xneq-1,,xneq0

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