Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
b) f_{2}(x)=e^{2 x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função f_{2} e pede a sua derivada. Informações fornecidas:
f_{2}(x)=e^{2x-3}.
Pergunta: calcular f_{2}'(x), ou seja, a derivada de f_{2} em função de x.

Passo 2

Lembra rápida do comportamento da exponencial base e: para a função g(x)=e^{x} vale
g'(x)=e^{x}.
Isto significa que a derivada da exponencial e^{(\cdot)} é ela mesma quando o expoente é exatamente x. Quando o expoente é uma função mais geral u(x), precisamos usar a regra da cadeia — é a mesma ideia, só que multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 3

Expliquei a regra da cadeia de forma bem direta: se temos uma função composta h(x)=G(U(x)), então
h'(x)=G'(U(x))\cdot U'(x).
No nosso caso G(t)=e^{t} e U(x)=u(x) será o expoente. Para G(t)=e^{t} temos G'(t)=e^{t}. Portanto, para f(x)=e^{u(x)} a regra dá
f'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x) — é isso que “multiplica” a exponencial.

Passo 4

Identificamos a função interna no nosso problema. Tomando
u(x)=2x-3,
calculamos a derivada de u. Derivada termo a termo: a derivada de 2x é 2 e a derivada de -3 (constante) é 0. Então
u'(x)=2.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia para f_{2}(x)=e^{u(x)}. Substituindo u(x) e u'(x) obtemos
f_{2}'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}=2\cdot e^{2x-3}.

Passo 6

Uma verificação alternativa (mesma resposta, só outra visão): escrevendo
e^{2x-3}=e^{-3}\,e^{2x},
podemos derivar usando que e^{-3} é constante e que \frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}. Assim
\frac{d}{dx}\big(e^{-3}e^{2x}\big)=e^{-3}\cdot 2e^{2x}=2e^{2x-3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

f_{2}'(x)=2e^{2x-3}

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