Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
e) f_{5}(x)=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f_{5}(x)=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sen}(2x).
Informações dadas:
\text{função } f_{5}(x)=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{sen}(2x).çã
O que se pede:
\text{achar } f_{5}'(x).

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
f(x)=g(x)+h(x),
então
f'(x)=g'(x)+h'(x).
Aqui vamos separar a função em duas parcelas:
g(x)=\operatorname{sen}^{2} x\quad\text{e}\quad h(x)=\operatorname{sen}(2x).

Passo 3

Derivada de g(x)=\operatorname{sen}^{2} x.
Explicando a técnica (regra da cadeia): se temos \varphi(x)=(u(x))^{2}, a derivada é
\varphi'(x)=2\,u(x)\,u'(x),
onde u(x) é a função interna e u'(x) é a derivada de u. Aqui escolhemos
u(x)=\operatorname{sen} x.
Agora precisamos de u'(x). A derivada de \operatorname{sen} x é \operatorname{cos} x (essa é uma fórmula básica: a derivada de seno é cosseno). Então
u'(x)=\operatorname{cos} x.
Aplicando a regra da cadeia:
g'(x)=2\,\operatorname{sen} x\;\operatorname{cos} x.
Observação útil (identidade trigonométrica): \operatorname{sen}(2x)=2\,\operatorname{sen} x\;\operatorname{cos} x. Então podemos reescrever
g'(x)=\operatorname{sen}(2x).
Eu mostro as duas formas porque às vezes é mais conveniente usar a identidade para simplificar.

Passo 4

Derivada de h(x)=\operatorname{sen}(2x).
Também usamos a regra da cadeia: se h(x)=\operatorname{sen}(v(x)) então
h'(x)=\operatorname{cos}(v(x))\cdot v'(x),
onde v(x) é a função interna. Aqui v(x)=2x, logo v'(x)=2. Assim
h'(x)=\operatorname{cos}(2x)\cdot 2 = 2\,\operatorname{cos}(2x).

Passo 5

Somando as derivadas das duas parcelas (regra da soma):
f_{5}'(x)=g'(x)+h'(x)=\bigl(2\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} x\bigr)+\bigl(2\,\operatorname{cos}(2x)\bigr).
Usando a identidade \operatorname{sen}(2x)=2\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{cos} x podemos simplificar para
f_{5}'(x)=\operatorname{sen}(2x)+2\,\operatorname{cos}(2x).

Resposta

f_{5}'(x)=\operatorname{sen}(2x)+2\,\operatorname{cos}(2x)

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