\hline 6) & Verificar se a função definida por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x-1} & \text { se } x \neq 1 \\\\ 2, & \text { se } x=1\end{array}\right. é contínua em x=1. \
O que significa "ser contínua em x=1"? Vou explicar direitinho, passo a passo. A definição que usamos é esta:
\text{A função }f\text{ é contínua em }x=1\text{ se }\lim_{x\to 1} f(x)=f(1).çãéí
Isso exige duas coisas:
O limite \lim_{x\to 1} f(x) existe (ou seja, os limites laterais à esquerda e à direita existem e são iguais).
O valor do limite é exatamente igual a f(1).
Então nossa missão prática é calcular \lim_{x\to 1} f(x) e comparar com f(1)=2.
Passo 3
Vamos analisar a expressão para x\neq 1:
\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Aqui vale uma técnica básica de álgebra: fatorar o numerador. Lembra que x^{2}-1 é uma diferença de quadrados; a fatoração é
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo isso na fração, para x\neq 1 obtemos
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.
Agora, atenção importante: o cancelamento de (x-1) é válido somente quando x\neq 1 (justamente onde essa expressão foi dada). Após cancelar, para todo x\neq 1 a expressão simplifica para
f(x)=x+1\qquad(\text{quando }x\neq 1).
Passo 4
Com a simplificação f(x)=x+1 para x\neq 1, fica fácil calcular o limite. Polinômios são funções contínuas, então podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=1:
\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} (x+1)=1+1=2.
Portanto o limite existe e vale 2.
Passo 5
Agora compare o limite com o valor da função no ponto:
\lim_{x\to 1} f(x)=2 \qquad\text{e}\qquad f(1)=2.
Como são iguais, pela definição de continuidade (passo 2) concluímos que f é contínua em x=1.
Comentário didático final (útil pra prova): a expressão original \frac{x^{2}-1}{x-1} tem uma “falha” aparente em x=1 porque a fração não está definida ali antes de você reescrever. Essa é uma descontinuidade do tipo removível — cancelar (x-1) mostra que a função “natural” que a expressão sugere é x+1, que toma valor 2 em x=1. O enunciado já redefiniu f(1)=2, então a descontinuidade foi “removida” e a função fica contínua.