Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
d)
’
d)
Passo 1
Temos a função e a tarefa claramente definidas. O enunciado dá:
O que se pede: calcular a derivada
— isto é, a taxa de variação da função em relação a
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Passo 2
Relembrando derivadas básicas que vamos usar (com explicação curta e exemplos):
- A derivada da exponencial com base
é
Isto significa que a função
é igual à sua própria derivada — prática para identificar padrões.
- A derivada do seno é
Exemplo rápido: se
, então
.
Passo 3
Apresentando a regra central que usaremos: a regra da cadeia (para compostos).
Se temos uma função composta , então
Se temos uma função composta
Explicação: derivamos a função externa
avaliando-a no argumento interno
e multiplicamos pela derivada do argumento interno
.
Exemplo ilustrativo: para
tomamos
e
. Então
Outro exemplo: para
, com
e
,
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao primeiro termo
.
Definimos o argumento interno
Calculamos sua derivada usando a regra básica da derivada do seno:
Agora a função externa é
, cuja derivada é
. Pela regra da cadeia:
Aqui interpretamos passo a passo: derivamos
obtendo
e multiplicamos pela derivada do que está no expoente, que é
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia ao segundo termo
.
Definimos o argumento interno
Derivada do argumento:
A função externa é
, cuja derivada é
. Pela regra da cadeia:
Novamente: derivamos o seno avaliando em
(dá
) e multiplicamos pela derivada do argumento interno
.
Passo 6
Somamos as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas). Assim,
Substituindo os resultados dos passos anteriores: