Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
d) f_{4}(x)=e^{\operatorname{sen} x}+\operatorname{sen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

Temos a função e a tarefa claramente definidas. O enunciado dá:
f_{4}(x)=e^{\operatorname{sen} x}+\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr).
O que se pede: calcular a derivada \,f_{4}'(x)\, — isto é, a taxa de variação da função em relação a x.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{1) Termo 1: } e^{\operatorname{sen} x} \qquad\text{(uma exponencial cujo expoente é \(\operatorname{sen} x\))},é
\text{2) Termo 2: } \operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr) \qquad\text{(um seno cujo argumento é \(e^{x}\))}.é

Passo 2

Relembrando derivadas básicas que vamos usar (com explicação curta e exemplos):
  • A derivada da exponencial com base e é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Isto significa que a função e^{x} é igual à sua própria derivada — prática para identificar padrões.
  • A derivada do seno é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)=\operatorname{cos} x.
Exemplo rápido: se g(x)=\operatorname{sen} x, então g'(x)=\operatorname{cos} x.

Passo 3

Apresentando a regra central que usaremos: a regra da cadeia (para compostos).
Se temos uma função composta \,F(x)=H\bigl(G(x)\bigr)\,, então
F'(x)=H'\bigl(G(x)\bigr)\cdot G'(x).
Explicação: derivamos a função externa H avaliando-a no argumento interno G(x) e multiplicamos pela derivada do argumento interno G'(x).
Exemplo ilustrativo: para F(x)=e^{x^2} tomamos H(u)=e^{u} e G(x)=x^2. Então
F'(x)=e^{x^2}\cdot 2x.
Outro exemplo: para \operatorname{sen}(3x), com H(u)=\operatorname{sen} u e G(x)=3x,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=\operatorname{cos}(3x)\cdot 3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao primeiro termo \,e^{\operatorname{sen} x}.
Definimos o argumento interno
u(x)=\operatorname{sen} x.
Calculamos sua derivada usando a regra básica da derivada do seno:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)=\operatorname{cos} x.
Agora a função externa é H(u)=e^{u}, cuja derivada é H'(u)=e^{u}. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\operatorname{sen} x}\bigr)=e^{\operatorname{sen} x}\cdot \operatorname{cos} x.
Aqui interpretamos passo a passo: derivamos e^{(\cdot)} obtendo e^{(\cdot)} e multiplicamos pela derivada do que está no expoente, que é \operatorname{cos} x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia ao segundo termo \,\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr).
Definimos o argumento interno
v(x)=e^{x}.
Derivada do argumento:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
A função externa é H(v)=\operatorname{sen} v, cuja derivada é H'(v)=\operatorname{cos} v. Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr)\bigr)=\operatorname{cos}\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x}.
Novamente: derivamos o seno avaliando em e^{x} (dá \operatorname{cos}(e^{x})) e multiplicamos pela derivada do argumento interno e^{x}.

Passo 6

Somamos as derivadas dos dois termos (derivada da soma é soma das derivadas). Assim,
f_{4}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{\operatorname{sen} x}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}\bigl(e^{x}\bigr)\bigr).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f_{4}'(x)=e^{\operatorname{sen} x}\cdot \operatorname{cos} x \;+\; \operatorname{cos}\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x}.

Resposta

f_{4}'(x)=e^{\operatorname{sen} x}\cdot \operatorname{cos} x+\operatorname{cos}\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x}

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