Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(c) f(x)=\ln |x|+\left(x^{2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln|x|+\bigl(x^{2}\bigr)^{x},
que envolve duas parcelas: a derivada de \ln|x| e a derivada de uma função da forma a(x)^{x}. Vamos usar:
  1. A regra de derivação de \ln|x|, que é \dfrac{1}{x}.
  2. A técnica de reescrever \bigl(x^{2}\bigr)^{x} como uma exponencial e^{h(x)} e aplicar a cadeia.

Passo 2

Derivando a primeira parcela, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr)=\frac{1}{x},
válido para x\neq0.

Passo 3

Reescrevemos a segunda parcela
\bigl(x^{2}\bigr)^{x} =e^{\,x\ln\bigl(x^{2}\bigr)} =e^{\,h(x)},
onde
h(x)=x\ln\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Simplificamos h(x) usando \ln(x^{2})=2\ln|x|:
h(x)=2x\ln|x|.
Para derivar usamos regra do produto:
h'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(2x\ln|x|\bigr) =2\ln|x|+2x\cdot\frac{1}{x} =2\ln|x|+2.

Passo 5

Agora derivamos e^{h(x)} pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}e^{h(x)} =h'(x)\,e^{h(x)} =\bigl(2\ln|x|+2\bigr)\,e^{h(x)}.
Voltando a \bigl(x^{2}\bigr)^{x} em vez de e^{h(x)}, fica
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)^{x} =\bigl(2\ln|x|+2\bigr)\,\bigl(x^{2}\bigr)^{x}.

Passo 6

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =\frac{1}{x} +\bigl(2\ln|x|+2\bigr)\,\bigl(x^{2}\bigr)^{x}.

Resposta

f'(x) =\frac{1}{x} +\bigl(2\ln|x|+2\bigr)\,\bigl(x^{2}\bigr)^{x}.

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