Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita como produto de duas partes:
e . - O domínio natural da expressão exclui
(pois nesse ponto). - A tarefa é encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas que vamos usar e o que significam, devagarinho e com carinho.
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui
e
são as derivadas de
e
.
- Derivada de uma função linear: se
com constantes, então
Ou seja, a derivada de
é só o coeficiente angular
.
- Derivada de um recíproco (regra do expoente/chain rule): se
é diferenciável e consideramos , então pela regra da cadeia
Em palavras: a derivada de
é
.
Essas três ideias são suficientes aqui: identificamos a função como produto e aplicamos a regra do produto; para a parte recíproca usamos a regra da cadeia acima.
Passo 3
Identificamos as partes do produto:
Calculemos
e
separadamente.
- Como
é linear, pela regra da derivada linear temos
- Para
, aplicamos a regra do recíproco/chain rule. Primeiro tem derivada . Então
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
que já calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para ficar bonita e simples. Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
E a segunda parcela já está sobre
:
Somando as duas frações:
Calculemos o numerador passo a passo:
Portanto
Também podemos observar que essa forma já mostra claramente que
está definida para todo
com
, ou seja
.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido: eu usei o produto
e
, calculei
e
, apliquei
e simplifiquei. O resultado ficou surpreendentemente simples — um numerador constante
sobre
. Se você pegar uma função parecida, tipo
, a derivada costuma dar um numerador linear; aqui as partes lineares se cancelaram deixando constante.