Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
f) f_{6}(x)=(3 x+1) \cdot \frac{1}{5 x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f_{6}(x) = (3x+1)\cdot\frac{1}{5x-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como produto de duas partes: 3x+1 e \dfrac{1}{5x-1}.
  • O domínio natural da expressão exclui x=\dfrac{1}{5} (pois 5x-1=0 nesse ponto).
  • A tarefa é encontrar f_{6}'(x), a derivada de f_{6} em termos de x.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas que vamos usar e o que significam, devagarinho e com carinho.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.
  • Derivada de uma função linear: se g(x)=ax+b com a,b constantes, então
g'(x)=a.
Ou seja, a derivada de ax+b é só o coeficiente angular a.
  • Derivada de um recíproco (regra do expoente/chain rule): se h(x) é diferenciável e consideramos w(x)=\big(h(x)\big)^{-1}, então pela regra da cadeia
w'(x)=-1\cdot \big(h(x)\big)^{-2}\cdot h'(x) = -\frac{h'(x)}{\big(h(x)\big)^{2}}.
Em palavras: a derivada de 1/h(x) é -h'(x)/h(x)^2.
Essas três ideias são suficientes aqui: identificamos a função como produto e aplicamos a regra do produto; para a parte recíproca usamos a regra da cadeia acima.

Passo 3

Identificamos as partes do produto:
u(x)=3x+1,\qquad v(x)=\frac{1}{5x-1}=(5x-1)^{-1}.
Calculemos u'(x) e v'(x) separadamente.
  • Como u(x)=3x+1 é linear, pela regra da derivada linear temos
u'(x)=3.
  • Para v(x)=(5x-1)^{-1}, aplicamos a regra do recíproco/chain rule. Primeiro h(x)=5x-1 tem derivada h'(x)=5. Então
v'(x) = -\frac{h'(x)}{\big(h(x)\big)^{2}} = -\frac{5}{(5x-1)^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f_{6}'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que já calculamos:
f_{6}'(x) = 3\cdot(5x-1)^{-1} + (3x+1)\cdot\left(-\frac{5}{(5x-1)^{2}}\right).

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para ficar bonita e simples. Colocamos tudo sobre o mesmo denominador (5x-1)^{2}:
3\cdot(5x-1)^{-1} = \frac{3}{5x-1} = \frac{3(5x-1)}{(5x-1)^{2}}.
E a segunda parcela já está sobre (5x-1)^{2}:
(3x+1)\cdot\left(-\frac{5}{(5x-1)^{2}}\right) = -\frac{5(3x+1)}{(5x-1)^{2}}.
Somando as duas frações:
f_{6}'(x)=\frac{3(5x-1)-5(3x+1)}{(5x-1)^{2}}.
Calculemos o numerador passo a passo:
3(5x-1)=15x-3,
5(3x+1)=15x+5,
15x-3 - (15x+5) = 15x-3-15x-5 = -8.
Portanto
f_{6}'(x) = -\frac{8}{(5x-1)^{2}}.
Também podemos observar que essa forma já mostra claramente que f_{6}'(x) está definida para todo x com 5x-1\neq 0, ou seja x\neq \dfrac{1}{5}.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido: eu usei o produto u( x)=3x+1 e v(x)=(5x-1)^{-1}, calculei u'=3 e v'=-5(5x-1)^{-2}, apliquei u'v+uv' e simplifiquei. O resultado ficou surpreendentemente simples — um numerador constante -8 sobre (5x-1)^2. Se você pegar uma função parecida, tipo \dfrac{ax+b}{cx+d}, a derivada costuma dar um numerador linear; aqui as partes lineares se cancelaram deixando constante.

Resposta

f_{6}'(x) = -\frac{8}{(5x-1)^{2}}

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