Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f) g(x)=raizx cdot ln x

Passo 1

Estamos com a função g(x)=raizxln x. O conteúdo aqui é derivada de composição de funções, então vamos precisar usar a regra da cadeia, a regra do produto e saber a derivada de ln x.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos a função interna u(x)=xln x e a externa v(u)=raizu=u^1/2. Assim g(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia temos
g'(x)=v'(u(x))cdot u'(x)

Passo 3

Agora vamos calcular u'(x). Como u(x)=xln x, aplicamos a regra do produto:
u'(x)=ddx[x]cdotln x + xcdotddx[ln x]=1cdotln x + xcdot1x=ln x + 1

Passo 4

Falta só a derivada da externa. Para v(u)=u^1/2 temos
v'(u)=12u^-1/2=12raizu
Substituindo u=xln x e u'=ln x+1 em g'(x)=v'(u)cdot u', obtemos
g'(x)=12raizxln x,(ln x+1)=ln x+12raizxln x

Resposta

g'(x)=ln x+12raizxln x

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