Determine a derivada das funções abaixo:
(e) ; f(x)=raizx+3x^3+2

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f(x)=√x + 3/(x³+2). O conteúdo envolvido é derivada de soma, derivada de potência e aplicação da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para a parte √x, escrevemos √x como x^{1/2}. A derivada de x^{n} é n·x^{n−1}. Assim, d/dx(x^{1/2}) = (1/2)·x^{1/2−1} = (1/2)·x^{−1/2}, que equivale a 1/(2√x).

Passo 3

Para a parte 3/(x³+2), reescrevemos como 3·(x³+2)^{−1}. Aplicando regra da cadeia: primeiro derivamos o expoente −1 multiplicando por 3, depois derivamos o interno x³+2. Temos d/dx[3·(x³+2)^{−1}] = 3·(−1)·(x³+2)^{−2}·d/dx(x³+2).

Passo 4

Como d/dx(x³+2)=3x², substituímos e obtemos 3·(−1)·(x³+2)^{−2}·3x² = −9x²·(x³+2)^{−2}, ou seja, −9x²/(x³+2)².

Passo 5

Somando as duas parcelas, a derivada final é a soma dos resultados obtidos para cada termo.

Resposta

f'(x)=12raizx - 9x^2(x^3+2)^2

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