Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.\n
Informações dadas:
está definida por
.
A tarefa é encontrar , ou seja, a derivada de
em relação a
.
Informações dadas:
A tarefa é encontrar
Passo 2
Vamos organizar a ideia principal que precisamos usar: quando temos uma função composta do tipo
, a derivada é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se
, então
Aqui
é a função exterior e
é a função interior. No nosso caso, a função exterior é
e a interior é
. Explicando cada símbolo:
-
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a ; - multiplicamos
por .
Sabe por que
? Porque a derivada da exponencial natural
é ela mesma: a taxa de variação de
é
.
Passo 3
Definimos explicitamente a função interior:
Agora calculamos
. Usamos a regra básica das derivadas:
- a derivada de
em relação a é ; - a derivada de uma constante
é .
Portanto
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para
. Como
, temos
Substituindo
e
, obtemos
Podemos reescrever de forma mais usual:
Passo 5
Breve reforço com um exemplo parecido (para fixar): se
, então por mesma lógica
— a derivada é a exponencial vezes a derivada do expoente.