Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=e^{x^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \;f(x)=e^{x^{2}+3}.\n
Informações dadas:
\;f está definida por \;f(x)=e^{x^{2}+3}.
A tarefa é encontrar \;f'(x), ou seja, a derivada de \;f em relação a \;x.

Passo 2

Vamos organizar a ideia principal que precisamos usar: quando temos uma função composta do tipo \;e^{u(x)}, a derivada é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se \;F(x)=g(u(x)), então
F'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui g é a função exterior e u é a função interior. No nosso caso, a função exterior é g(t)=e^{t} e a interior é u(x)=x^{2}+3. Explicando cada símbolo:
  • g'(t) é a derivada de g em relação a t;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • multiplicamos g'(u(x)) por u'(x).
Sabe por que g'(t)=e^{t}? Porque a derivada da exponencial natural e^{t} é ela mesma: a taxa de variação de e^{t} é e^{t}.

Passo 3

Definimos explicitamente a função interior:
u(x)=x^{2}+3.
Agora calculamos u'(x). Usamos a regra básica das derivadas:
  • a derivada de \;x^{2} em relação a \;x é \;2x;
  • a derivada de uma constante \;3 é \;0.
    Portanto
u'(x)=2x+0=2x.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para \;f(x)=e^{u(x)}. Como g'(t)=e^{t}, temos
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2}+3 e u'(x)=2x, obtemos
f'(x)=e^{x^{2}+3}\cdot 2x.
Podemos reescrever de forma mais usual:
f'(x)=2x\,e^{x^{2}+3}.

Passo 5

Breve reforço com um exemplo parecido (para fixar): se \;h(x)=e^{5x-1}, então por mesma lógica h'(x)=5e^{5x-1} — a derivada é a exponencial vezes a derivada do expoente.

Resposta

f'(x)=2x\,e^{x^{2}+3}

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