Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=e^{x^{3}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \,f(x)=e^{x^{3}+x}\,.
Informações dadas: a função é o exponencial de um polinômio ( x^{3}+x); está definida para todo \,x\in\mathbb{R}\,. O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos usar uma regra fundamental de diferenciação que vale para funções compostas: a regra da cadeia. A fórmula que vamos usar é
\frac{d}{dx}\,e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x),
onde u(x) é a função interior (ou “parte interna”) e u'(x) é a derivada de u em relação a x.
Explicando: a derivada de \,e^{z}\, em relação a z é \,e^{z}\,. Quando o expoente é uma função de x, precisamos multiplicar pela derivada dessa função interior — é isso que a regra da cadeia diz.

Passo 3

Identificamos a função interior. Defina
u(x)=x^{3}+x.
Agora calculamos u'(x). Usamos a regra do poder (power rule): para qualquer inteiro n, \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2},
\frac{d}{dx}x=1.
Somando as derivadas (derivada de soma é soma das derivadas), obtemos
u'(x)=3x^{2}+1.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia da Passo 2 com u(x)=x^{3}+x e u'(x)=3x^{2}+1. Assim,
f'(x)=\frac{d}{dx}\,e^{x^{3}+x}=e^{x^{3}+x}\cdot(3x^{2}+1).

Passo 5

Interpretando o resultado: a derivada é o próprio exponencial \,e^{x^{3}+x}\, multiplicado pela derivada do expoente \,3x^{2}+1. Esse resultado é válido para todo \,x\in\mathbb{R}\,. Se quiser avaliar a derivada num ponto específico x=a, basta substituir x=a em \,e^{x^{3}+x}(3x^{2}+1)\,.

Resposta

f'(x)=e^{x^{3}+x}\,(3x^{2}+1)

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