Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é o exponencial de um polinômio ( ); está definida para todo
. O objetivo é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Informações dadas: a função é o exponencial de um polinômio (
Passo 2
Vamos usar uma regra fundamental de diferenciação que vale para funções compostas: a regra da cadeia. A fórmula que vamos usar é
onde
é a função interior (ou “parte interna”) e
é a derivada de
em relação a
.
Explicando: a derivada de em relação a
é
. Quando o expoente é uma função de
, precisamos multiplicar pela derivada dessa função interior — é isso que a regra da cadeia diz.
Explicando: a derivada de
Passo 3
Identificamos a função interior. Defina
Agora calculamos
. Usamos a regra do poder (power rule): para qualquer inteiro
,
. Aplicando termo a termo:
Somando as derivadas (derivada de soma é soma das derivadas), obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia da Passo 2 com
e
. Assim,
Passo 5
Interpretando o resultado: a derivada é o próprio exponencial
multiplicado pela derivada do expoente
. Esse resultado é válido para todo
. Se quiser avaliar a derivada num ponto específico
, basta substituir
em
.