Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
Ou seja, a função é a potência quarta da tangente de
dividida por
. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão numérica no denominador. Calculamos
:
Portanto podemos reescrever a função de forma mais simples:
Passo 3
Vou trocar a notação para a função trigonométrica em LaTeX padrão:
é a mesma coisa que
. Assim
Agora sabemos que temos uma constante multiplicando uma potência de uma função composta (
elevada a
). Para derivar, usaremos a regra do poder combinada com a regra da cadeia. Antes de aplicar, explico essas regras de forma bem clara.
Passo 4
Regra do poder (quando há composição): se tivermos
com
constante, então
Aqui
é a “parte de dentro” (a função interna) e
é a derivada dessa função interna. Exemplo simples para fixar: se
, então usamos a regra do poder com
e
:
Passo 5
Também precisamos da derivada da função interna
. A derivada conhecida é
Lembrando que
, então
. Outra identidade útil é
que às vezes permite escrever a resposta de forma alternativa.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do poder à função
. Tomando
e
, obtemos
Passo 7
Voltando para
, como há uma constante multiplicativa
podemos multiplicar a derivada obtida pelo fator
. Assim
Multiplicando os números:
Passo 8
Se preferir, usando
podemos escrever uma forma alternativa:
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é direta e bastante comum.