Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\frac{\operatorname{tg}^{4} x}{2+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
f(x)=\frac{\operatorname{tg}^{4} x}{2+1}
Ou seja, a função é a potência quarta da tangente de x dividida por 2+1. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão numérica no denominador. Calculamos 2+1:
2+1=3
Portanto podemos reescrever a função de forma mais simples:
f(x)=\frac{1}{3}\,\operatorname{tg}^{4} x

Passo 3

Vou trocar a notação para a função trigonométrica em LaTeX padrão: \operatorname{tg} x é a mesma coisa que \tan x. Assim
f(x)=\frac{1}{3}\,\tan^{4} x.
Agora sabemos que temos uma constante multiplicando uma potência de uma função composta ( \tan x elevada a 4). Para derivar, usaremos a regra do poder combinada com a regra da cadeia. Antes de aplicar, explico essas regras de forma bem clara.

Passo 4

Regra do poder (quando há composição): se tivermos \varphi(x) = [u(x)]^{n} com n constante, então
\varphi'(x)=n\,[u(x)]^{n-1}\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a “parte de dentro” (a função interna) e u'(x) é a derivada dessa função interna. Exemplo simples para fixar: se g(x)=(x^2)^2, então usamos a regra do poder com u(x)=x^2 e n=2:
g'(x)=2(x^2)^{1}\cdot(2x)=4x^3.

Passo 5

Também precisamos da derivada da função interna \tan x. A derivada conhecida é
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x.
Lembrando que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, então \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}. Outra identidade útil é
\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x,
que às vezes permite escrever a resposta de forma alternativa.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do poder à função \tan^{4}x. Tomando u(x)=\tan x e n=4, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\tan^{4}x\big)=4\,\tan^{3}x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)=4\,\tan^{3}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 7

Voltando para f(x)=\dfrac{1}{3}\tan^{4}x, como há uma constante multiplicativa \dfrac{1}{3} podemos multiplicar a derivada obtida pelo fator \dfrac{1}{3}. Assim
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot\big(4\,\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x\big).
Multiplicando os números:
f'(x)=\frac{4}{3}\,\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 8

Se preferir, usando \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x podemos escrever uma forma alternativa:
f'(x)=\frac{4}{3}\,\tan^{3}x\,(1+\tan^{2}x).
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é direta e bastante comum.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{4}{3}\,\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{2}x

Exercícios relacionados