Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=e^{x^{2}+3}+\ln e^{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=e^{x^{2}+3}+\ln e^{x^{2}+1}.
Informações dadas:
\text{1) } f(x)=e^{x^{2}+3}+\ln e^{x^{2}+1}.
\text{2) A tarefa é encontrar } f'(x).é

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades/fórmulas fundamentais que usaremos (explicadas com calma):
\text{(a) Regra da cadeia para exponencial:}\quad \frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Aqui g(x) é qualquer função diferenciável; a ideia é que derivamos o “externo” e^{(\cdot)} mantendo o interno e multiplicamos pela derivada do interno g'(x). Ex.: se g(x)=x^2 então \frac{d}{dx}e^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x.
\text{(b) Função logaritmo natural composta com exponencial:}\quad \ln(e^{u})=u \quad\text{para todo }u\in\mathbb{R}.çã
Como consequência direta, a derivada de \ln(e^{u(x)}) é u'(x). Alternativamente, fazendo pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(e^{u(x)})=\frac{1}{e^{u(x)}}\cdot \frac{d}{dx}e^{u(x)}=\frac{1}{e^{u(x)}}\cdot e^{u(x)}\cdot u'(x)=u'(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula (a) ao primeiro termo \,e^{x^{2}+3}\,:
Defina g(x)=x^{2}+3. Então g'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+3)=2x.
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{x^{2}+3}=e^{x^{2}+3}\cdot 2x=2x\,e^{x^{2}+3}.

Passo 4

Agora o segundo termo \,\ln e^{x^{2}+1}\,.
Usando a propriedade \ln(e^{u})=u com u(x)=x^{2}+1, temos diretamente
\ln e^{x^{2}+1}=x^{2}+1.
Portanto sua derivada é a derivada de x^{2}+1, que é 2x:
\frac{d}{dx}\ln e^{x^{2}+1}=\frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
(Se preferir ver pela regra da cadeia: \frac{1}{e^{u}}\cdot e^{u}\cdot u'=u', que dá o mesmo.)

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos (derivada é linear):
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x^{2}+3}+\frac{d}{dx}\ln e^{x^{2}+1}=2x\,e^{x^{2}+3}+2x.

Passo 6

Podemos fatorar 2x para deixar a resposta mais elegante e útil na prova:
f'(x)=2x\bigl(e^{x^{2}+3}+1\bigr).

Resposta

f'(x)=2x\bigl(e^{x^{2}+3}+1\bigr)

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