Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(e) f(x)=\sqrt{x+3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt{x+3}. O conteúdo principal aqui é o uso da regra da cadeia e da regra do expoente para funções do tipo u(x)^{n}. Vamos reescrever a função num formato que facilite a aplicação dessas regras.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\sqrt{x+3}=(x+3)^{\tfrac12}.
Definimos a função interna u(x)=x+3, de modo que f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/2}. Vamos usar:
  • Regra do expoente: se g(u)=u^{n}, então g'(u)=n\,u^{n-1}.
  • Regra da cadeia: \displaystyle \frac{d}{dx}g\bigl(u(x)\bigr)=g'(u(x))\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x+3)=1.
Agora aplicamos a regra do expoente em g(u)=u^{1/2}:
g'(u)=\frac12\,u^{-\tfrac12}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\frac12\,(x+3)^{-\tfrac12}\cdot1 =\frac12\,(x+3)^{-\tfrac12}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}.

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