\hline 13) & \begin{tabular}{l}
Da Física, sabemos que a corrente I , que atravessa um circuito, é uma função do tempo e é dada por:
\
R e C são constantes positivas que dependem do circuito. Determine a corrente I, em função do tempo.
Da Física, sabemos que a corrente I , que atravessa um circuito, é uma função do tempo e é dada por: \
R e C são constantes positivas que dependem do circuito. Determine a corrente I, em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre corrente e carga:
e fornece a carga
onde
são constantes.
A pergunta é: determinar a corrente
em função do tempo — ou seja, calcular
para os diferentes intervalos de
.]
Passo 2
Breve revisão do que precisamos para derivar:
- A derivada
é a taxa de variação de em relação ao tempo . Se é constante, sua derivada é zero. Ex.: para constante . - Regra da cadeia (essencial para exponenciais): se temos
, então
- Derivada de uma constante multiplicativa: se
com constante, então .
Vamos aplicar essas regras diretamente ao
peça por peça. Lembre-se:
é a variável;
e
são constantes.
Passo 3
Derivada para
. Pelo enunciado, para
temos
, constante. Portanto
(Observação: a derivada lateral pela esquerda em
também é
.)
Passo 4
Derivada para
. Para
temos
. Aplicamos a regra do produto/constante e a regra da cadeia:
Agora use a regra da cadeia com
. Então
e
Multiplicando por
:
Passo 5
Comportamento em
. Calculamos as derivadas laterais:
Como
, a derivada de
em
não existe (isto é,
não é diferenciável em
). Portanto
não está definida no sentido usual da derivada. (Fisicamente, pode-se falar em salto instantâneo na corrente ao iniciar a descarga, mas matematicamente a derivada não existe em
.)