\hline 13) & \begin{tabular}{l}
Da Física, sabemos que a corrente I , que atravessa um circuito, é uma função do tempo e é dada por: \mathrm{I}=\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\), onde a carga Q de um capacitor, que inicia a descarga no instante \(\mathrm{t}=0\), é dada por capacitor, que inicia a descarga no instante \(\mathrm{t}=0\), é dada por \\ \(Q(t)= \begin{cases}C & \text { para } t \leq 0 \\\ C e^{-t / R C} & \text { para } t>0\end{cases} \
R e C são constantes positivas que dependem do circuito. Determine a corrente I, em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre corrente e carga:
I=\frac{dQ}{dt},
e fornece a carga Q(t)\) do capacitor como função de \(t\): \[Q(t)=\begin{cases} C, & \text{para } t\le 0,\\[4pt] C e^{-t/(RC)}, & \text{para } t>0, \end{cases}
onde R>0\] e \(C>0 são constantes.
A pergunta é: determinar a corrente I em função do tempo — ou seja, calcular \dfrac{dQ}{dt} para os diferentes intervalos de t.]

Passo 2

Breve revisão do que precisamos para derivar:
  • A derivada \dfrac{dQ}{dt} é a taxa de variação de Q em relação ao tempo t. Se Q é constante, sua derivada é zero. Ex.: \dfrac{d}{dt}K=0 para constante K.
  • Regra da cadeia (essencial para exponenciais): se temos f(t)=e^{g(t)}, então
\frac{d}{dt}e^{g(t)}=g'(t)\,e^{g(t)}.
  • Derivada de uma constante multiplicativa: se f(t)=A\cdot h(t) com A constante, então f'(t)=A\cdot h'(t).
Vamos aplicar essas regras diretamente ao Q(t) peça por peça. Lembre-se: t é a variável; R e C são constantes.

Passo 3

Derivada para t<0. Pelo enunciado, para t\le 0 temos Q(t)=C, constante. Portanto
I(t)=\frac{dQ}{dt}=\frac{d}{dt}C=0\qquad\text{para }t<0.
(Observação: a derivada lateral pela esquerda em t=0 também é 0.)

Passo 4

Derivada para t>0. Para t>0 temos Q(t)=C e^{-t/(RC)}. Aplicamos a regra do produto/constante e a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl(C e^{-t/(RC)}\bigr)=C\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t/(RC)}\bigr).
Agora use a regra da cadeia com g(t)=-\dfrac{t}{RC}. Então g'(t)=-\dfrac{1}{RC} e
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t/(RC)}\bigr)=\left(-\frac{1}{RC}\right)e^{-t/(RC)}.
Multiplicando por C:
I(t)=C\cdot\left(-\frac{1}{RC}\right)e^{-t/(RC)}=-\frac{C}{RC}e^{-t/(RC)}=-\frac{1}{R}e^{-t/(RC)} \qquad\text{para }t>0.

Passo 5

Comportamento em t=0. Calculamos as derivadas laterais:
I(0^-)=0,\qquad I(0^+)=-\frac{1}{R}e^{0}=-\frac{1}{R}.
Como I(0^-)\neq I(0^+), a derivada de Q em t=0 não existe (isto é, Q não é diferenciável em t=0). Portanto I(0) não está definida no sentido usual da derivada. (Fisicamente, pode-se falar em salto instantâneo na corrente ao iniciar a descarga, mas matematicamente a derivada não existe em t=0.)

Resposta

I(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[6pt] -\dfrac{1}{R}e^{-t/(RC)}, & t>0,\\[6pt] \text{não existe (derivada não definida)}, & t=0. \end{cases}ãã]

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