Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(f) f(x)=\left(3 x+2 e^{x}\right)(1+\tan (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \bigl(3x + 2e^{x}\bigr)\bigl(1 + \tan(x)\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto, além de conhecermos as derivadas de \,3x, de \,e^{x} e de \,\tan(x).

Passo 2

Definimos
u(x) = 3x + 2e^{x}, \qquad v(x) = 1 + \tan(x).
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x).
Para u(x)=3x+2e^{x},
u'(x) = \frac{d}{dx}(3x) + 2\frac{d}{dx}(e^{x}) = 3 + 2e^{x}.
Para v(x)=1+\tan(x),
v'(x) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan(x)) = 0 + \operatorname{sec}^{2}(x) = \operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 4

Substituindo em
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)
temos
f'(x) = \bigl(3 + 2e^{x}\bigr)\bigl(1 + \tan(x)\bigr) + \bigl(3x + 2e^{x}\bigr)\operatorname{sec}^{2}(x).

Resposta

f'(x) = (3 + 2e^{x})(1 + \tan(x)) + (3x + 2e^{x})\operatorname{sec}^{2}(x).

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