Questão 3. (2,5 pts) Utilizando integrais, determine o volume do sólido formado pelo interior do cone z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}\right), z \geq 0 e abaixo da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 z.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está dentro do cone
z^{2}=3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),\quad z\ge0
e abaixo da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z.
O conteúdo principal é cálculo de volume por integrais triplas, e a escolha de coordenadas esféricas deixa as superfícies bem simples.

Passo 2

Em coordenadas esféricas,
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
o elemento de volume é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
• O cone z^{2}=3(x^{2}+y^{2}) vira
\rho^{2}\cos^{2}\varphi=3\,\rho^{2}\sin^{2}\varphi \;\Longrightarrow\; \tan^{2}\varphi=\tfrac13 \;\Longrightarrow\; \varphi=\tfrac\pi6.
Como queremos o interior do cone para z\ge0, temos
0\le\varphi\le\tfrac\pi6.
• A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4z fica
\rho^{2}=4\,\rho\cos\varphi \;\Longrightarrow\; \rho=4\cos\varphi \quad(\rho\ge0).

Passo 3

Os limites de integração são
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\tfrac\pi6,\quad 0\le\rho\le4\cos\varphi.
Logo o volume é
V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/6}\!\int_{0}^{4\cos\varphi} \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{4\cos\varphi}\rho^{2}\,d\rho =\frac{(4\cos\varphi)^{3}}{3} =\frac{64}{3}\cos^{3}\varphi.
Então
V = \int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/6} \frac{64}{3}\,\cos^{3}\varphi\,\sin\varphi \,d\varphi = \frac{128\pi}{3} \int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,\cos^{3}\varphi\,d\varphi.
Fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, quando \varphi=0 temos u=1 e quando \varphi=\pi/6 temos u=\sqrt3/2. Assim,
\int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,\cos^{3}\varphi\,d\varphi =-\int_{1}^{\sqrt3/2}u^{3}\,du =-\Bigl[\tfrac{u^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{\sqrt3/2} =\frac{7}{64}.
Logo
V =\frac{128\pi}{3}\,\frac{7}{64} =\frac{14\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14\pi}{3}

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