Questão 3. (2,5 pts) Utilizando integrais, determine o volume do sólido formado pelo interior do cone
e abaixo da esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está dentro do cone
e abaixo da esfera
O conteúdo principal é cálculo de volume por integrais triplas, e a escolha de coordenadas esféricas deixa as superfícies bem simples.
Passo 2
Em coordenadas esféricas,
o elemento de volume é
.
• O cone vira
• O cone
Como queremos o interior do cone para
, temos
• A esfera
fica
Passo 3
Os limites de integração são
Logo o volume é
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então
Fazendo
,
, quando
temos
e quando
temos
. Assim,
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