Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(c) f(x)=\operatorname{sen}\left((x+1)^{{2}}(x+2)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}\bigl((x+1)^{2}(x+2)\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, combinada com a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Definimos a função externa e a interna para aplicar a regra da cadeia:
funcão externa h(u)=\operatorname{sen}(u) e função interna
u=g(x)=(x+1)^{2}(x+2).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x) =\cos\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(x+1)^{2}(x+2)\bigr].
Usando produto u=(x+1)^{2}, v=(x+2), temos u'=2(x+1) e v'=1. Então
g'(x)=u'v+uv' =2(x+1)(x+2)+(x+1)^{2}.
Fatorando x+1,
g'(x)=(x+1)\bigl[2(x+2)+(x+1)\bigr] =(x+1)(3x+5).

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\cos\bigl((x+1)^{2}(x+2)\bigr)\,\bigl[(x+1)(3x+5)\bigr].

Resposta

f'(x)=\cos\bigl((x+1)^{2}(x+2)\bigr)\,(x+1)(3x+5).

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