Construa uma função
tal que, para todo número inteiro
,
É possivel tal função seja contínua?
Passo 1
O enunciado pede uma função
que tenha, em todo inteiro
, salto de valor 1 à esquerda e salto de valor 0 à direita, ou seja,
O conteúdo principal aqui é a construção de uma função com “onda dente de serra” periódica de período 1, cujo comportamento no entorno de cada
dê esses saltos. Para isso vamos usar a parte fracionária.
Passo 2
Definimos a função parte fracionária
. Então uma escolha natural é
De fato, para cada
não inteiro temos
, e
repete-se a cada intervalo
.
Passo 3
Vamos verificar os limites em torno de um inteiro
.
Ao nos aproximarmos de pela esquerda, escrevemos
com
pequeno. Então
Ao nos aproximarmos de
e, tomando
,
Pela direita,
com
pequeno, dá
e portanto
Passo 4
Em cada inteiro
a função
tem salto: o limite à esquerda vale 1 e o da direita vale 0. Logo
não pode ser contínua nesses pontos. Como há infinitos
, não existe uma versão de
contínua em todo
.
Resposta
A função
satisfaz
e
para todo
.
Não é possível que seja contínua em todos os reais, pois ela apresenta descontinuidade de salto em cada inteiro.
Não é possível que