Construa uma função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que, para todo número inteiro p \in \mathbb{Z},
\lim _{x \rightarrow p^{-}} g(x)=1 \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow p^{+}} g(x)=0
É possivel tal função seja contínua?

Passo 1

O enunciado pede uma função g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que tenha, em todo inteiro p, salto de valor 1 à esquerda e salto de valor 0 à direita, ou seja,
\lim_{x\to p^-}g(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to p^+}g(x)=0.
O conteúdo principal aqui é a construção de uma função com “onda dente de serra” periódica de período 1, cujo comportamento no entorno de cada p\in\mathbb{Z} dê esses saltos. Para isso vamos usar a parte fracionária.

Passo 2

Definimos a função parte fracionária \{x\}=x-\lfloor x\rfloor. Então uma escolha natural é
g(x)=\{x\}.
De fato, para cada x não inteiro temos 0<\{x\}<1, e \{x\} repete-se a cada intervalo [p,p+1).

Passo 3

Vamos verificar os limites em torno de um inteiro p.
Ao nos aproximarmos de p pela esquerda, escrevemos x=p-\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno. Então
\{x\}=\{p-\varepsilon\} =(p-\varepsilon)-\lfloor p-\varepsilon\rfloor =(p-\varepsilon)-(p-1) =1-\varepsilon,
e, tomando \varepsilon\to0^+,
\lim_{x\to p^-}g(x)=\lim_{\varepsilon\to0^+}(1-\varepsilon)=1.
Pela direita, x=p+\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno, dá
\{x\}=\{p+\varepsilon\} =(p+\varepsilon)-\lfloor p+\varepsilon\rfloor =(p+\varepsilon)-p =\varepsilon,
e portanto
\lim_{x\to p^+}g(x)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon=0.

Passo 4

Em cada inteiro p a função g tem salto: o limite à esquerda vale 1 e o da direita vale 0. Logo g não pode ser contínua nesses pontos. Como há infinitos p\in\mathbb{Z}, não existe uma versão de g contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A função
g(x)=\{x\}=x-\lfloor x\rfloor
satisfaz \lim_{x\to p^-}g(x)=1 e \lim_{x\to p^+}g(x)=0 para todo p\in\mathbb{Z}.
Não é possível que g seja contínua em todos os reais, pois ela apresenta descontinuidade de salto em cada inteiro.

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