Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
e) f(t)=ln raiz3 t^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(t)=lnraiz3t^2+1. O conteúdo envolvido é derivada de logaritmo e regra da cadeia, além de usar a propriedade de logaritmo de potência.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão usando a propriedade ln(a^b)=bln(a):
f(t)=lnl((3t^2+1)^1/2r)=tfrac12ln(3t^2+1)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da derivada de logaritmo composta com um polinômio. Se g(t)=ln(u(t)), então g'(t)=u'(t)/u(t). Aqui temos ainda o fator constante 1/2. Calculamos u(t)=3t^2+1, então u'(t)=6t. Logo,
f'(t)=tfrac12cdotu'(t)u(t)=tfrac12cdot6t3t^2+1=3t3t^2+1

Passo 4

Portanto, a derivada fica simplificada como f'(t)=dfrac3t3t^2+1.

Resposta

f'(t)=dfrac3t3t^2+1

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