Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a derivada de cada uma das funções.” A função dada é
.
O que é pedido: encontrar
, a taxa de variação instantânea de
em relação a
.
Informações relevantes:
- A função é soma de três termos:
, e . - Cada termo será derivado separadamente e depois somados, porque a derivada é linear.
Passo 2
Regras que vou usar (explicadas de maneira simples):
- Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra da constante: a derivada de uma constante
é . Ou seja, . - Regra do fator constante: se há uma constante multiplicando uma função, pode-se tirá‑la fora:
. - Regra do poder (power rule): para todo inteiro
,
Explicação do que significam as variáveis nessa fórmula:
é a variável independente,
é o expoente (um número inteiro não-negativo) e o resultado é multiplicar pelo expoente e reduzir esse expoente em uma unidade.
Passo 3
Pequena demonstração intuitiva da regra do poder (para
inteiro positivo) — é útil para saber por que a regra vale:
Pelo Teorema do Binômio,
Então
Ao fazer
, todos os termos que têm fator
desaparecem, sobrando
Pronto — essa é a razão da regra do poder.
Passo 4
Agora aplico as regras termo a termo na função
.
Derivada do primeiro termo
:
- Pelo fator constante,
. - Pela regra do poder,
. - Logo,
Derivada do segundo termo
:
- Aplicando a regra do poder com
,
Derivada do terceiro termo
:
- É uma constante, então
Passo 5
Somando as derivadas dos três termos (regra da linearidade):
Simplificando o
, obtemos
Dica rápida para a prova: identifique termos do tipo
e aplique diretamente
. Aqui isso dá
e
.