Calcule a derivada de cada uma das funções:.
f(x)=4 x^{3}+x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a derivada de cada uma das funções.” A função dada é f(x)=4 x^{3}+x^{2}+1.
O que é pedido: encontrar f'(x), a taxa de variação instantânea de f em relação a x.
Informações relevantes:
  • A função é soma de três termos: 4 x^{3}, x^{2} e 1.
  • Cada termo será derivado separadamente e depois somados, porque a derivada é linear.

Passo 2

Regras que vou usar (explicadas de maneira simples):
  1. Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então \;g'(x)=u'(x)+v'(x).
  2. Regra da constante: a derivada de uma constante C é \;0. Ou seja, \dfrac{d}{dx}C=0.
  3. Regra do fator constante: se há uma constante multiplicando uma função, pode-se tirá‑la fora: \dfrac{d}{dx}\big(C\cdot u(x)\big)=C\cdot u'(x).
  4. Regra do poder (power rule): para todo inteiro n\ge 0,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicação do que significam as variáveis nessa fórmula: x é a variável independente, n é o expoente (um número inteiro não-negativo) e o resultado é multiplicar pelo expoente e reduzir esse expoente em uma unidade.

Passo 3

Pequena demonstração intuitiva da regra do poder (para n inteiro positivo) — é útil para saber por que a regra vale:
\frac{d}{dx}x^{n}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}.
Pelo Teorema do Binômio,
(x+h)^{n}=x^{n}+n x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}.
Então
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{\,n-1}.
Ao fazer h\to 0, todos os termos que têm fator h desaparecem, sobrando
\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n x^{n-1}.
Pronto — essa é a razão da regra do poder.

Passo 4

Agora aplico as regras termo a termo na função f(x)=4 x^{3}+x^{2}+1.
Derivada do primeiro termo 4 x^{3}:
  • Pelo fator constante, \dfrac{d}{dx}(4 x^{3})=4\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{3}).
  • Pela regra do poder, \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Logo,
\frac{d}{dx}(4 x^{3})=4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.
Derivada do segundo termo x^{2}:
  • Aplicando a regra do poder com n=2,
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x^{1}=2x.
Derivada do terceiro termo 1:
  • É uma constante, então
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 5

Somando as derivadas dos três termos (regra da linearidade):
f'(x)=12x^{2}+2x+0.
Simplificando o +0, obtemos
f'(x)=12x^{2}+2x.
Dica rápida para a prova: identifique termos do tipo a x^{n} e aplique diretamente \dfrac{d}{dx}(a x^{n})=a n x^{n-1}. Aqui isso dá 4\cdot 3 x^{2}=12x^{2} e 1\cdot 2 x^{1}=2x.

Resposta

f'(x)=12x^{2}+2x

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