Calcule a derivada de cada uma das funções:.
f(x)=\left(4 x^{2}+3\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a derivada da função
f(x)=\left(4x^{2}+3\right)^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita como uma potência de outra expressão.
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a regra da potência (para funções simples). Ela diz que, para uma função do tipo
g(t)=t^{n},
onde n é um número real constante e t é a variável, a derivada é
g'(t)=n\,t^{n-1}.
Aqui n é a potência e t é a variável cujo comportamento estamos derivando. Essa regra só trata do caso em que a variável está diretamente elevada a uma potência.

Passo 3

Mas na nossa função a variável x aparece dentro de uma expressão que, por sua vez, é elevada ao quadrado. Para isso usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia afirma que, se
f(x)=h\big(u(x)\big),
então a derivada é
f'(x)=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando: u(x) é a função interna (depende de x), h(u) é a função externa (depende de u); h' é a derivada da externa em relação a u avaliada em u(x), e u'(x) é a derivada da interna em relação a x. Multiplica-se as duas.

Passo 4

Identificar função externa e interna no problema:
  • Função externa: \displaystyle h(u)=u^{2}. Aqui u representa a expressão que estará elevada ao quadrado.
  • Função interna: \displaystyle u(x)=4x^{2}+3.

Passo 5

Derivar cada parte separadamente:
  • Derivada da externa em termos de u: usando a regra da potência com n=2,
h'(u)=2u.
Aqui u é tratado como a variável ao derivar u^{2}.
  • Derivada da interna em termos de x: para u(x)=4x^{2}+3, derivando termo a termo (constante some a zero, e x^{2} vira 2x),
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(4x^{2}+3\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}(3)=4\cdot(2x)+0=8x.
Expliquei: multiplica-se pela constante 4 e usa-se a regra da potência para x^{2}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia: substitui-se u(x) em h'(u) e multiplica-se por u'(x):
f'(x)=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=2\big(u(x)\big)\cdot 8x.
Agora substituir u(x)=4x^{2}+3:
f'(x)=2\big(4x^{2}+3\big)\cdot 8x.
Simplificar constantes e fatores: 2\cdot 8x =16x. Portanto
f'(x)=16x\big(4x^{2}+3\big).

Passo 7

Opcional — expandir o resultado (às vezes útil em prova): multiplicando 16x por cada termo dentro do parêntese,
f'(x)=16x\cdot 4x^{2}+16x\cdot 3=64x^{3}+48x.

Resposta

f'(x)=16x\big(4x^{2}+3\big)
f'(x)=64x^{3}+48x

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