Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita como uma potência de outra expressão.
- O objetivo é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a regra da potência (para funções simples). Ela diz que, para uma função do tipo
onde
é um número real constante e
é a variável, a derivada é
Aqui
é a potência e
é a variável cujo comportamento estamos derivando. Essa regra só trata do caso em que a variável está diretamente elevada a uma potência.
Passo 3
Mas na nossa função a variável
aparece dentro de uma expressão que, por sua vez, é elevada ao quadrado. Para isso usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia afirma que, se
então a derivada é
Explicando:
é a função interna (depende de
),
é a função externa (depende de
);
é a derivada da externa em relação a
avaliada em
, e
é a derivada da interna em relação a
. Multiplica-se as duas.
Passo 4
Identificar função externa e interna no problema:
- Função externa:
. Aqui representa a expressão que estará elevada ao quadrado. - Função interna:
.
Passo 5
Derivar cada parte separadamente:
- Derivada da externa em termos de
: usando a regra da potência com ,
Aqui
é tratado como a variável ao derivar
.
- Derivada da interna em termos de
: para , derivando termo a termo (constante some a zero, e vira ),
Expliquei: multiplica-se pela constante
e usa-se a regra da potência para
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia: substitui-se
em
e multiplica-se por
:
Agora substituir
:
Simplificar constantes e fatores:
. Portanto
Passo 7
Opcional — expandir o resultado (às vezes útil em prova): multiplicando
por cada termo dentro do parêntese,