Calcule a derivada de cada uma das funções:.
G(y)=\left(7-3 y^{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
G(y)=\left(7-3 y^{2}\right)^{2}.
Informações dadas: a função é uma composição de uma função quadrática exterior (elevar ao quadrado) com um polinômio interior 7-3y^{2}. A tarefa é encontrar G'(y).

Passo 2

Identificar a estrutura de composição para aplicar uma regra de derivação eficiente. Defino uma função auxiliar u(y) igual à parte interior:
u(y)=7-3y^{2},
assim a função fica escrita como
G(y)=\bigl(u(y)\bigr)^{2}.
Isto mostra que G é a composição G(y)=f(u(y)) com f(u)=u^{2}.

Passo 3

Apresentar a regra que vamos usar (explicada): a regra da cadeia (chain rule). Ela diz que, se G(y)=f(u(y)), então a derivada de G é
G'(y)=f'\bigl(u(y)\bigr)\cdot u'(y).
Explicando: f'(u) é a derivada da função externa em relação a u, avaliada em u=u(y); e u'(y) é a derivada da função interna em relação a y. Multiplica-se as duas por isso.

Passo 4

Calcular f'(u) para a função externa f(u)=u^{2}. Usando a regra do poder (derivada de u^{n} é n u^{n-1}):
f'(u)=2u.
Agora substituímos u=u(y) quando necessário.

Passo 5

Calcular u'(y) para a função interna u(y)=7-3y^{2}. Derivando termo a termo:
  • A derivada de 7 é 0 porque é constante.
  • A derivada de -3y^{2} é -3 vezes a derivada de y^{2}. A derivada de y^{2} é 2y. Logo
u'(y)=0-3\cdot 2y=-6y.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando f'(u(y)) e u'(y):
G'(y)=f'\bigl(u(y)\bigr)\cdot u'(y)=\bigl(2u(y)\bigr)\cdot\bigl(-6y\bigr).
Substituindo u(y)=7-3y^{2}:
G'(y)=2\bigl(7-3y^{2}\bigr)\cdot(-6y).

Passo 7

Fazer a simplificação algébrica final. Multiplicando os números:
2\cdot(-6y)=-12y,
portanto
G'(y)=-12y\bigl(7-3y^{2}\bigr).
Se preferir expandir:
G'(y)=36y^{3}-84y.

Resposta

G'(y)=-12y\left(7-3y^{2}\right)

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