Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é uma composição de uma função quadrática exterior (elevar ao quadrado) com um polinômio interior
. A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Identificar a estrutura de composição para aplicar uma regra de derivação eficiente. Defino uma função auxiliar
igual à parte interior:
assim a função fica escrita como
Isto mostra que
é a composição
com
.
Passo 3
Apresentar a regra que vamos usar (explicada): a regra da cadeia (chain rule). Ela diz que, se
, então a derivada de
é
Explicando:
é a derivada da função externa em relação a
, avaliada em
; e
é a derivada da função interna em relação a
. Multiplica-se as duas por isso.
Passo 4
Calcular
para a função externa
. Usando a regra do poder (derivada de
é
):
Agora substituímos
quando necessário.
Passo 5
Calcular
para a função interna
. Derivando termo a termo:
- A derivada de
é porque é constante. - A derivada de
é vezes a derivada de . A derivada de é . Logo
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando
e
:
Substituindo
:
Passo 7
Fazer a simplificação algébrica final. Multiplicando os números:
portanto
Se preferir expandir: