Calcule a derivada de cada uma das funções:.
F(t)=\left(t^{2}-2 t+1\right)\left(2 t^{2}+3 t\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(t)=\bigl(t^{2}-2t+1\bigr)\bigl(2t^{2}+3t\bigr).
Informações dadas:
  • A função está escrita como produto de duas expressões em t: u(t)=t^{2}-2t+1 e v(t)=2t^{2}+3t.
    O que se pede:
  • Calcular F'(t)=\dfrac{d}{dt}F(t).

Passo 2

Vou explicar as regras que vou usar (com linguagem simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se h(t)=a(t)+b(t) então \dfrac{d}{dt}h(t)=a'(t)+b'(t).
  • Regra do múltiplo constante: se c é constante e g(t) é função, então \dfrac{d}{dt}\bigl[c\,g(t)\bigr]=c\,g'(t).
  • Regra do poder (power rule): para n inteiro positivo, \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}.
  • Regra do produto (product rule): para u(t) e v(t),
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)\,v(t)\bigr)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Aqui cada símbolo significa:
  • u'(t)=\dfrac{d}{dt}u(t) e v'(t)=\dfrac{d}{dt}v(t).
  • A derivada F'(t) é a taxa de variação de F em relação a t.
Escolha do método: como F é produto de duas funções simples, a regra do produto é direta e pedagógica para a prova. Alternativamente pode-se expandir o produto e derivar termo a termo; vou mostrar as duas abordagens (produto e expansão) — isso ajuda a checar o resultado.

Passo 3

Identificar as duas funções e calcular suas derivadas separadamente:
u(t)=t^{2}-2t+1,\qquad v(t)=2t^{2}+3t.
Usando a regra do poder e a linearidade:
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)-2\frac{d}{dt}(t)+\frac{d}{dt}(1)=2t-2+0=2t-2.
v'(t)=2\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)+3\frac{d}{dt}(t)=2\cdot(2t)+3\cdot1=4t+3.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
F'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo os u,u',v,v' que temos:
F'(t)=(2t-2)\bigl(2t^{2}+3t\bigr)+\bigl(t^{2}-2t+1\bigr)(4t+3).
Agora vou expandir cada termo cuidadosamente e somar termos semelhantes.
Calcule o primeiro produto:
(2t-2)(2t^{2}+3t)=2t(2t^{2}+3t)-2(2t^{2}+3t).
=4t^{3}+6t^{2}-4t^{2}-6t=4t^{3}+2t^{2}-6t.
Calcule o segundo produto:
(t^{2}-2t+1)(4t+3)=t^{2}(4t+3)-2t(4t+3)+1(4t+3).
=4t^{3}+3t^{2}-8t^{2}-6t+4t+3=4t^{3}-5t^{2}-2t+3.
Somando os dois resultados:
F'(t)=(4t^{3}+2t^{2}-6t)+(4t^{3}-5t^{2}-2t+3).
F'(t)=8t^{3}-3t^{2}-8t+3.

Passo 5

Verificação por expansão (método alternativo): expandir primeiro F(t) e depois derivar.
Expanda
F(t)=\bigl(t^{2}-2t+1\bigr)\bigl(2t^{2}+3t\bigr).
Calculando termo a termo:
F(t)=t^{2}(2t^{2}+3t)-2t(2t^{2}+3t)+1(2t^{2}+3t).
F(t)=2t^{4}+3t^{3}-4t^{3}-6t^{2}+2t^{2}+3t.
F(t)=2t^{4}-t^{3}-4t^{2}+3t.
Agora deriva termo a termo usando a regra do poder:
\frac{d}{dt}\bigl(2t^{4}\bigr)=2\cdot4t^{3}=8t^{3},
\frac{d}{dt}\bigl(-t^{3}\bigr)=-3t^{2},
\frac{d}{dt}\bigl(-4t^{2}\bigr)=-8t,
\frac{d}{dt}\bigl(3t\bigr)=3.
Somando:
F'(t)=8t^{3}-3t^{2}-8t+3.
Resultado coincide com o obtido pela regra do produto — bom sinal.

Passo 6

Dica rápida para a prova: escolher entre usar a regra do produto (direto) ou expandir primeiro depende do que for mais rápido para você. Se os fatores são polinômios de grau baixo, expandir e derivar termo a termo é rápido e costuma ter menos chances de erro em multiplicações com sinais. Se os fatores são mais complicados, usar a regra do produto evita expansão longa.
Força aí — já era essa! Se quiser, posso gerar exercícios parecidos para treinar.

Resposta

F'(t)=8t^{3}-3t^{2}-8t+3

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