Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função está escrita como produto de duas expressões em
: e .
O que se pede: - Calcular
.
Passo 2
Vou explicar as regras que vou usar (com linguagem simples):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Se
então . - Regra do múltiplo constante: se
é constante e é função, então . - Regra do poder (power rule): para
inteiro positivo, . Exemplo rápido: . - Regra do produto (product rule): para
e ,
Aqui cada símbolo significa:
-
e . - A derivada
é a taxa de variação de em relação a .
Escolha do método: como
é produto de duas funções simples, a regra do produto é direta e pedagógica para a prova. Alternativamente pode-se expandir o produto e derivar termo a termo; vou mostrar as duas abordagens (produto e expansão) — isso ajuda a checar o resultado.
Passo 3
Identificar as duas funções e calcular suas derivadas separadamente:
Usando a regra do poder e a linearidade:
Passo 4
Aplicar a regra do produto:
Substituindo os
que temos:
Agora vou expandir cada termo cuidadosamente e somar termos semelhantes.
Calcule o primeiro produto:
Calcule o segundo produto:
Somando os dois resultados:
Passo 5
Verificação por expansão (método alternativo): expandir primeiro
e depois derivar.
Expanda
Expanda
Calculando termo a termo:
Agora deriva termo a termo usando a regra do poder:
Somando:
Resultado coincide com o obtido pela regra do produto — bom sinal.
Passo 6
Dica rápida para a prova: escolher entre usar a regra do produto (direto) ou expandir primeiro depende do que for mais rápido para você. Se os fatores são polinômios de grau baixo, expandir e derivar termo a termo é rápido e costuma ter menos chances de erro em multiplicações com sinais. Se os fatores são mais complicados, usar a regra do produto evita expansão longa.
Força aí — já era essa! Se quiser, posso gerar exercícios parecidos para treinar.