Calcule as derivadas a seguir
D_{x}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado. O enunciado pede a derivada em relação a x da função
f(x)=\frac{x-1}{x+1}.
Informação importante sobre o domínio: a função não está definida em x=-1 (porque o denominador vira zero). A derivada só faz sentido nos pontos do domínio, ou seja, para x\neq -1.

Passo 2

Vamos escolher um método: o jeito mais direto aqui é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra com calma.
Regra do quociente: se \displaystyle g(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq 0, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
O que cada coisa significa:
  • u(x) é o numerador da função original.
  • v(x) é o denominador.
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v, respectivamente.
    A ideia intuitiva: estamos a diferença entre a taxa de variação do numerador e a do denominador ajustada pelo quadrado do denominador (a demonstração vem da regra do produto aplicando u\cdot v^{-1}, mas aqui só precisamos da fórmula).

Passo 3

Identificar u e v e calcular u' e v'.
Tomando
u(x)=x-1,\qquad v(x)=x+1,
temos derivadas simples (regra da derivada de x é 1; constante tem derivada 0):
u'(x)=1,\qquad v'(x)=1.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo.
Substituindo na fórmula:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^{2}}.
Agora calcular o numerador:
1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1 = x+1-x+1 = 2.
Portanto
f'(x)=\frac{2}{(x+1)^{2}},\qquad x\neq -1.

Passo 5

Confirmação por um método alternativo (opcional, mas útil para fixar):
Fazer divisão polinomial ou reescrever a função:
\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}.
Derivando termo a termo: derivada de 1 é 0. Para -2/(x+1), usar regra da cadeia ou a derivada de 1/(x+1) que é -1/(x+1)^{2}. Logo
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-2\cdot\left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right)=\frac{2}{(x+1)^{2}},
confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{2}{(x+1)^{2}}

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