Calcule as derivadas a seguir
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado. O enunciado pede a derivada em relação a
da função
Informação importante sobre o domínio: a função não está definida em
(porque o denominador vira zero). A derivada só faz sentido nos pontos do domínio, ou seja, para
.
Passo 2
Vamos escolher um método: o jeito mais direto aqui é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra com calma.
Regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis e
, então
O que cada coisa significa:
-
é o numerador da função original. -
é o denominador. -
e são as derivadas de e , respectivamente.
A ideia intuitiva: estamos a diferença entre a taxa de variação do numerador e a do denominador ajustada pelo quadrado do denominador (a demonstração vem da regra do produto aplicando, mas aqui só precisamos da fórmula).
Passo 3
Identificar
e
e calcular
e
.
Tomando
Tomando
temos derivadas simples (regra da derivada de
é
; constante tem derivada
):
Passo 4
Aplicar a regra do quociente e simplificar passo a passo.
Substituindo na fórmula:
Substituindo na fórmula:
Agora calcular o numerador:
Portanto
Passo 5
Confirmação por um método alternativo (opcional, mas útil para fixar):
Fazer divisão polinomial ou reescrever a função:
Fazer divisão polinomial ou reescrever a função:
Derivando termo a termo: derivada de
é
. Para
, usar regra da cadeia ou a derivada de
que é
. Logo
confirma o resultado anterior.