Calcule a derivada de cada uma das funções:.
g(x)=x^{3}-2 x^{2}+5 x-7 x

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=x^{3}-2 x^{2}+5 x-7 x
e pede para calcular a derivada dessa função.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função é um polinômio (soma de potências de x com coeficientes).
  • Há termos semelhantes 5x e -7x que podem ser combinados.
    A tarefa é encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão combinando termos semelhantes. Os termos lineares são 5x e -7x. Calcula-se:
5x-7x = -2x.
Portanto, a função simplificada é
g(x)=x^{3}-2 x^{2}-2 x.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre regras de derivação que vamos usar (bem devagarinho):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções f e h,
\frac{d}{dx}\big(f(x)+h(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}h(x).
  • Regra do fator constante: se a é constante,
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f((x)\big)=a\cdot \frac{d}{dx}f(x).
  • Regra do poder (power rule): para um expoente real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente (por exemplo n=3 em x^3); a regra diz que se you baixa o expoente multiplicando e diminui o expoente em 1.
  • Derivada de uma função linear x é 1:
\frac{d}{dx}x=1.
  • Derivada de uma constante é 0.

Passo 4

Aplicar as regras termo a termo na forma simplificada g(x)=x^{3}-2 x^{2}-2 x.
Calcule a derivada de cada termo separadamente:
  • Para x^{3}, usando a regra do poder com n=3:
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Para -2x^{2}, usar o fator constante -2 e a regra do poder com n=2:
\frac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big)=-2\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=-2\cdot(2x)=-4x.
  • Para -2x, usar fator constante -2 e \frac{d}{dx}x=1:
\frac{d}{dx}\big(-2x\big)=-2\cdot 1 = -2.

Passo 5

Temos então as derivadas dos termos individuais (listadas acima). Pela linearidade, a derivada da função é a soma dessas derivadas term a term.
Dica rápida para conferir mentalmente: a derivada de um polinômio é outro polinômio com cada termo reduzido conforme a regra do poder. Também é útil calcular g'(a) para algum ponto simples (por exemplo a=0) como checagem: a derivada em 0 será o termo constante da derivada; isso ajuda a detectar erros de sinais ou coeficientes.

Resposta

g'(x)=3x^{2}-4x-2

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