Se f e g são funções diferenciáveis tais que
\mathrm{f}(2)=3, f^{\prime}(2)=-1, g(2)=-5, g^{\prime}(2)=2
, determine o valor de h^{\prime}(2) se:
\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{g}(\mathrm{x});

Passo 1

O enunciado dá os seguintes valores (todos extraídos do enunciado):
  • f(2)=3
  • f^{\prime}(2)=-1
  • g(2)=-5
  • g^{\prime}(2)=2
A pergunta é: determinar h^{\prime}(2) quando h(x)=f(x)\,g(x).

Passo 2

Apresentar a regra que vamos usar (sem pular etapas): quando duas funções diferenciáveis f e g são multiplicadas, a derivada do produto é dada pela regra do produto:
h(x)=(f\cdot g)(x)\quad\Rightarrow\quad h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\prime}(x).
Explicando cada termo de forma bem direta:
  • f^{\prime}(x) é a taxa de variação instantânea de f em x (o quanto f muda por uma pequena mudança em x).
  • g(x) é o valor de g em x.
  • f(x)\,g^{\prime}(x) é o análogo: valor de f multiplicado pela taxa de variação de g.
    Intuição rápida e útil para prova: se f muda um pouco ( \Delta f) e g muda um pouco ( \Delta g), o produto muda aprox. g\,\Delta f + f\,\Delta g; o termo \Delta f\Delta g é de ordem menor e some ao passar ao limite, daí vem a fórmula.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula exatamente no ponto x=2:
h^{\prime}(2)=f^{\prime}(2)\,g(2)+f(2)\,g^{\prime}(2).
Aqui simplesmente substituímos x=2 na expressão da regra do produto.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos fornecidos:
h^{\prime}(2)=\bigl(-1\bigr)\cdot\bigl(-5\bigr)+\bigl(3\bigr)\cdot\bigl(2\bigr).
Calculando passo a passo:
\bigl(-1\bigr)\cdot\bigl(-5\bigr)=5, \qquad \bigl(3\bigr)\cdot\bigl(2\bigr)=6,
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h^{\prime}(2)=5+6=11.

Resposta

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