Se f e g são funções diferenciáveis tais que
\mathrm{f}(2)=3, f^{\prime}(2)=-1, g(2)=-5, g^{\prime}(2)=2
, determine o valor de h^{\prime}(2) se:
h(x)=f(x) g(x)

Passo 1

O enunciado dá funções diferenciáveis f e g e informa valores no ponto x=2. Os dados são:
  • f(2)=3
  • f'(2)=-1
  • g(2)=-5
  • g'(2)=2
A questão pede: determinar o valor de h'(2) para a função
h(x)=f(x)\,g(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular h'(2). A derivada h'(2) é a taxa de variação instantânea de h no ponto x=2. Como h é produto de duas funções diferenciáveis, existe uma regra direta (a regra do produto) que nos dá h'(x) em termos de f, g e suas derivadas. Antes de aplicar, vou explicar e justificar essa regra de forma didática.

Passo 3

Enunciando a regra do produto: para funções diferenciáveis f e g,
(h=f\cdot g)\quad\Rightarrow\quad h'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).
Vamos entender por que isso vale (uma demonstração via definição de derivada, passo a passo):
Definição de derivada no ponto a:
h'(a)=\lim_{x\to a}\frac{h(x)-h(a)}{x-a}.
Substituindo h(x)=f(x)g(x) obtemos
h'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}.
Agora fazemos uma manipulação algébrica útil: adicionar e subtrair f(x)g(a) no numerador:
f(x)g(x)-f(a)g(a)=\bigl(f(x)g(x)-f(x)g(a)\bigr)+\bigl(f(x)g(a)-f(a)g(a)\bigr).
Agrupando e dividindo por x-a:
\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a} =\frac{f(x)\bigl(g(x)-g(a)\bigr)}{x-a} +\frac{g(a)\bigl(f(x)-f(a)\bigr)}{x-a}.
Tomando limite x\to a e usando que f é contínua em a (porque é diferenciável), obtemos
h'(a)=f(a)\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Esses limites são, por definição, g'(a) e f'(a). Portanto
h'(a)=f(a)\,g'(a)+g(a)\,f'(a),
que é exatamente a regra do produto (a ordem dos termos pode ser trocada):
h'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto no ponto x=2. Substituindo x=2 na fórmula:
h'(2)=f'(2)\,g(2)+f(2)\,g'(2).
Colocando os valores fornecidos pelo enunciado:
f'(2)=-1,\qquad g(2)=-5,\qquad f(2)=3,\qquad g'(2)=2.
Então calculamos os termos:
f'(2)\,g(2)=(-1)\cdot(-5)=5,
f(2)\,g'(2)=3\cdot 2=6.

Passo 5

Somando os dois termos obtidos:
5+6=11.

Resposta

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