Se f e g são funções diferenciáveis tais que
, determine o valor de
se:
h(x)=f(x) g(x)
, determine o valor de
h(x)=f(x) g(x)
Passo 1
O enunciado dá funções diferenciáveis
e
e informa valores no ponto
. Os dados são:
A questão pede: determinar o valor de
para a função
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa calcular
. A derivada
é a taxa de variação instantânea de
no ponto
. Como
é produto de duas funções diferenciáveis, existe uma regra direta (a regra do produto) que nos dá
em termos de
,
e suas derivadas. Antes de aplicar, vou explicar e justificar essa regra de forma didática.
Passo 3
Enunciando a regra do produto: para funções diferenciáveis
e
,
Vamos entender por que isso vale (uma demonstração via definição de derivada, passo a passo):
Definição de derivada no ponto
:
Substituindo
obtemos
Agora fazemos uma manipulação algébrica útil: adicionar e subtrair
no numerador:
Agrupando e dividindo por
:
Tomando limite
e usando que
é contínua em
(porque é diferenciável), obtemos
Esses limites são, por definição,
e
. Portanto
que é exatamente a regra do produto (a ordem dos termos pode ser trocada):
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto no ponto
. Substituindo
na fórmula:
Colocando os valores fornecidos pelo enunciado:
Então calculamos os termos:
Passo 5
Somando os dois termos obtidos: