Calcule a derivada de cada uma das funções:.
g(x)=x^{4}-5+x^{2}+4 x-4

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede sua derivada. Dados:
g(x)=x^{4}-5+x^{2}+4 x-4.
O que se pede: calcular g'(x), ou seja, a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão somando os termos semelhantes (aqui os termos constantes). Temos -5-4=-9. Assim:
g(x)=x^{4}+x^{2}+4x-9.
Simplificar facilita a visualização dos termos a derivar.

Passo 3

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem direta):
  • Derivada da soma é soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(f(x)+h(x)\big)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}h(x).
  • Derivada de constante é zero:
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0,\quad \text{onde \(c\) é constante.}é
  • Regra potência (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa: x é a variável, n é o expoente, e o resultado é o expoente multiplicando e o novo expoente decrecido de 1.

Passo 4

Aplico essas regras termo a termo em g(x)=x^{4}+x^{2}+4x-9.
  • Para x^{4}: pela regra potência,
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.
  • Para x^{2}: pela regra potência,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
  • Para 4x: é uma constante vezes x. Derivada de x é 1, então
\frac{d}{dx}\big(4x\big)=4\cdot\frac{d}{dx}(x)=4\cdot 1=4.
  • Para -9: constante, então
\frac{d}{dx}(-9)=0.

Passo 5

Somando as derivadas de cada termo, pela regra da soma:
g'(x)=4x^{3}+2x+4+0.
Eliminando o zero final:
g'(x)=4x^{3}+2x+4.

Resposta

g'(x)=4x^{3}+2x+4

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