Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é soma de uma constante
e de uma função racional . - Precisamos encontrar
para os em que a função está definida (ou seja, ).
Passo 2
Antes de calcular, vamos revisar as regras que vamos usar (com explicação didática):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
, então
- Regra da constante: a derivada de uma constante é zero. Se
é constante, então
- Regra do multiplicador constante: se
é constante e função, então
- Regra do poder (power rule): para um número real
,
onde
é a variável e
é o expoente (pode ser negativo). Essa regra é central aqui porque
pode ser escrita como uma potência negativa.
Passo 3
Reescrevo a função de forma que fique mais fácil aplicar a regra do poder:
pois
. Essa forma facilita aplicar a regra do poder diretamente.
Passo 4
Agora aplico as regras termo a termo:
- Derivada do primeiro termo (constante):
- Derivada do segundo termo usando constante múltipla e a regra do poder:
primeiro identifiquee . Pela regra do poder,
Aplicando o multiplicador constante:
Somando as duas derivadas (regra da soma):
Passo 5
Volto a escrever em forma de fração para ficar mais familiar na prova:
Interpretação rápida: a derivada é negativa para
(decresce) e também negativa para
quando
é negativo — mas o importante para a prova é saber a forma algébrica da derivada e a restrição
.