Calcule a derivada de cada uma das funções:.
g(x)=\frac{3}{5}+\frac{5}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(x)=\frac{3}{5}+\frac{5}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é soma de uma constante \tfrac{3}{5} e de uma função racional \tfrac{5}{x^{2}}.
  • Precisamos encontrar g'(x) para os x em que a função está definida (ou seja, x\neq0).

Passo 2

Antes de calcular, vamos revisar as regras que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se h(x)=u(x)+v(x), então
h'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra da constante: a derivada de uma constante é zero. Se c é constante, então
\frac{d}{dx}c=0.
  • Regra do multiplicador constante: se k é constante e f(x) função, então
\frac{d}{dx}\big(k\cdot f(x)\big)=k\cdot f'(x).
  • Regra do poder (power rule): para um número real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1},
onde x é a variável e n é o expoente (pode ser negativo). Essa regra é central aqui porque \tfrac{1}{x^{2}} pode ser escrita como uma potência negativa.

Passo 3

Reescrevo a função de forma que fique mais fácil aplicar a regra do poder:
g(x)=\frac{3}{5}+5x^{-2},
pois \dfrac{5}{x^{2}}=5\cdot x^{-2}. Essa forma facilita aplicar a regra do poder diretamente.

Passo 4

Agora aplico as regras termo a termo:
  • Derivada do primeiro termo (constante):
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{5}\right)=0.
  • Derivada do segundo termo usando constante múltipla e a regra do poder:
    primeiro identifique k=5 e f(x)=x^{-2}. Pela regra do poder,
\frac{d}{dx}x^{-2} = -2\,x^{-3}.
Aplicando o multiplicador constante:
\frac{d}{dx}\big(5x^{-2}\big)=5\cdot(-2)\,x^{-3}=-10\,x^{-3}.
Somando as duas derivadas (regra da soma):
g'(x)=0+(-10\,x^{-3})=-10\,x^{-3}.

Passo 5

Volto a escrever em forma de fração para ficar mais familiar na prova:
g'(x)=-\frac{10}{x^{3}},\qquad x\neq0.
Interpretação rápida: a derivada é negativa para x>0 (decresce) e também negativa para x<0 quando x^{3} é negativo — mas o importante para a prova é saber a forma algébrica da derivada e a restrição x\neq0.

Resposta

g'(x)=-\frac{10}{x^{3}}

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